Ứng dụng tích phân tính diện tích

Ứng dụng tích phân tính diện tích là một trong những bài toán thực tế thường xuyên gặp trong bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Muốn học tốt chủ đề này bạn cần nhớ những kiến thức quan trọng của tích phân. Bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng bài ứng dụng tích phân thường gặp.

1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Giả sử một hình phẳng được tạo bởi y = f(x) và đường thẳng y = 0. Biết rằng y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng này được xác định theo công thức:

Ứng dụng tích phân tính diện tích

1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Giả sử một hình phẳng có diện tích S, được giới hạn bởi hai đồ thị y = f1(x), y = f2(x). Biết rằng hai đồ thị này liên tục trên[a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Lúc này diện tích hình phẳng được tính theo công thức

Trường hợp f(x) không đổi dấu [a; b] thì diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx=\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|$

Muốn bỏ dấu trị tuyệt đối thì:

  • Bước 1: Giả sử nghiệm tìm được từ pt f(x) = 0 hay f(x) – g(x) = 0 là c, d (với c < d).
  • Bước 2: Áp dụng công thức $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx=\int\limits_{a}^{c}{\left| f\left( x \right) \right|}dx+\int\limits_{c}^{d}{\left| f\left( x \right) \right|}dx+\int\limits_{d}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx$

Nếu diện tích được giới hạn bởi hai đồ thị: x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng x = d, x = c.

Khi này diện tích cần tìm tính theo công thức $S=\int\limits_{c}^{d}{\left| g\left( x \right)-h\left( x \right) \right|}dx$

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay (đọc thêm)

2.1 Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn như hình vẽ, khi này thể tích của nó được xác định theo công thức

Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

2.2 Thể tích khối tròn xoay

Giả sử một hình phẳng được hình thành bởi các được x = a; x = b và đường cong y = f(x). Cho hình này xoay quanh trục Ox nó sẽ hình thành khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

Thể tích khối tròn xoay

3. Bài tập

Câu 0. Parabol $y=\frac{{{x}^{2}}}{2}$ chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$ thành hai phần có diện tích là ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$, trong đó ${{S}_{1}}<{{S}_{2}}$. Tìm tỉ số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

A. $\frac{3\pi +2}{21\pi -2}.$

B. $\frac{3\pi +2}{9\pi -2}.$

C. $\frac{3\pi +2}{12\pi }.$

D. $\frac{9\pi -2}{3\pi +2}.$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Diện tích hình tròn là $S=\pi {{r}^{2}}=8\pi $.

Ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{2}{\left| \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right|}\text{d}x=2\pi +\frac{4}{3}$

Suy ra ${{S}_{2}}=S-{{S}_{1}}=6\pi -\frac{4}{3}$

Vậy $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{3\pi +2}{9\pi -2}$ .

Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y={{x}^{2}}-x+3$ và $y=2x+1$ là:

A. $-\frac{1}{6}$.

B. $\frac{2}{3}$.

C. $\frac{3}{2}$.

D.$\frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải
Chọn D

Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

${{x}^{2}}-x+3=2x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.$

Diện tích hình phẳng là: $\left| \int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}dx \right|=\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}+2x \right) \right|_{1}^{2} \right|$ $ = \left| {\frac{7}{3} – \frac{9}{2} + 2} \right| = \left| { – \frac{1}{6}} \right| = \frac{1}{6}$

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+17x-3$ và $y={{x}^{2}}+3x+5$

A. $3.$

B. $\frac{37}{12}.$

C. $\frac{13}{14}.$

D. $\frac{75}{24}.$

Hướng dẫn giải
.

Chọn B.

Diện tích hình phẳng giới hạn bới $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+17x-3$ và $y={{x}^{2}}+3x+5$

PTHDGD :${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+17x-3={{x}^{2}}+3x+5$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1\\ x = 4 \end{array} \right.$

Vậy$S=\left| \int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+14x-8 \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+14x-8 \right)dx} \right|=\frac{37}{12}$

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường ${{y}^{2}}=2x+1$ và $y=x1$ bằng diện tích của một hình vuông có chu vi là

A.$\frac{16}{\sqrt{3}}.$ B.$\frac{4}{\sqrt{3}}.$ C.$4\sqrt{3}.$ D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có phương trình tung độ giao điểm: $\frac{{{y}^{2}}-1}{2}=y+1\Leftrightarrow y=-1\vee y=3$.

$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \frac{{{y}^{2}}-1}{2}-y-1 \right|\text{d}x}=\left| \left. \frac{{{y}^{3}}}{6}-\frac{3y}{2}-\frac{{{y}^{2}}}{2} \right|_{-1}^{3} \right|=\frac{16}{3}$ .

Suy ra cạnh hình vuông là $\frac{4}{\sqrt{3}}$.

Vậy chu vi hình vuông cần tìm là: $\frac{16}{\sqrt{3}}.$

Câu 4. Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{x+1}{x-1}$ và hai trục khi quay xung quanh $Ox$ là

A.$\pi (3-4\ln 2).$ B.$\frac{\pi }{2}(3-4\ln 2).$ C.$\frac{\pi }{2}(3+4\ln 2).$ D.$\pi (3+4\ln 2).$

Hướng dẫn giải
Chọn A

Tacó $V=\pi \int\limits_{-1}^{0}{{{\left( \frac{x+1}{x-1} \right)}^{2}}\text{d}x}$

$ = \,\pi \int\limits_{ – 1}^0 {{{\left( {1 + \frac{2}{{x – 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} $$ = \pi \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {1 + \frac{4}{{x – 1}} + {{\left( {\frac{2}{{x – 1}}} \right)}^2}} \right){\rm{d}}x} \,$ ${ = \pi \left. {\left( {x + 4\ln \left| {x – 1} \right| – \frac{4}{{(x – 1)}}} \right)} \right|_{ – 1}^0}$

$=\pi \left( 3-4\ln 2 \right)$.

Câu 5. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y={{x}^{2}}$ và $y=x+2$ quanh trục $Ox$ là

A. $\frac{72\pi }{10}$ (đvtt).

B. $\frac{72\pi }{5}$ (đvtt).

C. $\frac{81\pi }{10}$ (đvtt).

D. $\frac{81\pi }{5}$ (đvtt).

Hướng dẫn giải
Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 2 \end{array} \right.$.

Thể tích cần tìm là $V=\pi \left| \int_{-1}^{2}{\left[ {{x}^{4}}-{{\left( x+2 \right)}^{2}} \right]\text{d}x} \right|=\frac{72\pi }{5}$.

Câu 6. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}}$ và $x={{y}^{2}}$ quay quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3\pi }{10}$.

B. $10\pi $.

C. $\frac{10\pi }{3}$.

D. $3\pi $.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: $x = {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y = \sqrt x \end{array} \right.$

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.$

Thể tích khối tròn xoay thu được: $V=\pi \left| \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}\text{d}x}-\int\limits_{0}^{1}{x\text{d}x} \right|=\pi \left| \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)_{0}^{1} \right|=\frac{3\pi }{10}\cdot $