Phương pháp nguyên hàm từng phần

Ngoài phương pháp đổi biến số đã chia sẻ, bài này sẽ giới thiệu thêm một phương pháp giải nguyên hàm hiệu quả đó là phương pháp nguyên hàm từng phần. Hiểu rõ lý thuyết, thường xuyên rèn luyện nó sẽ giúp bạn tìm được đáp án chính xác, mất ít thời gian hơn kể cả với bài vận dụng cao.
Cụ thể phương pháp này như nào? Hãy theo dõi bài viết

1. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Giả sử trên một tập xác định K cho trước, hai hàm số v(x) và u(x) có đạo hàm liên tục thì:

∫u(x).v′(x)dx = u(x).v(x) − ∫v(x).u′(x)dx

Hay ∫udv = uv − ∫vdu ( với du = u(x)dx, dv = v(x)dx )

1.1 Cách làm

Ta tiến hành theo 3 bước như sau

  • Bước 1: Ta tiến hành biến đổi như sau I = ∫f(x)dx = ∫f1(x).f2(x)dx
  • Bước 2: Đặt
  • Bước 3: Khi đó ∫u.dv = u.v − ∫v.du

1.2 Các dạng toán thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Dạng 1: 

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = P(x)\\ dv = \left\{ {\left. \begin{array}{l} \sin x\\ \cos x\\ {e^x} \end{array} \right\}} \right..dx \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u’.du = P'(x)dx\\ v = \left\{ {\left. \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x\\ {e^x} \end{array} \right\}} \right. \end{array} \right.$

Vậy: $I = P(x)\left\{ \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x\\ {e^x} \end{array} \right\} – \int {\left\{ \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x\\ {e^x} \end{array} \right\}.P'(x)dx} $

Dạng 2: $I=\int{P(x).\ln xdx}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = P(x)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = \int {P(x)dx} = Q(x) \end{array} \right.$

Vậy $I=lnx.Q\left( x \right)=\int{Q(x).\frac{1}{x}dx}$

Dạng 3. $I = \int {{e^x}\left\{ {\left. \begin{array}{l} \sin x\\ \cos x \end{array} \right\}} \right.dx} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x}\\ dv = \left\{ {\left. \begin{array}{l} \sin x\\ \cos x \end{array} \right\}} \right..dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = {e^x}dx\\ v = \left\{ {\left. \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x \end{array} \right\}} \right. \end{array} \right.$

Vậy $I = {e^x}\left\{ {\left. \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x \end{array} \right\}} \right. – \int {\left\{ {\left. \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x \end{array} \right\}} \right.} {e^x}dx$

Bằng phương pháp tương tự ta tính được $\int {\left\{ {\left. \begin{array}{l} – \cos x\\ \sin x \end{array} \right\}} \right.} {e^x}dx$ sau đó thay vào I

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Các dạng toán thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

2. Bài tập

Câu 1: $\int{x{{e}^{\frac{x}{3}}}dx}$ bằng:

A. $3\left( x-3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$

B. $\left( x+3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$

C. $\frac{1}{3}\left( x-3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$

D. $\frac{1}{3}\left( x+3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$

Câu 2: $\int{x\ln xdx}$ bằng:

A. $\frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{4}.\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+C$

C. $-\frac{{{x}^{2}}\ln x}{4}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x+\frac{{{x}^{2}}}{4}+C$

Câu 3: Một nguyên hàm của $f\left( x \right)=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}$ là

A. $x\tan x-\ln \left| \cos \text{x} \right|$

B. $x\tan x+\ln \left( \cos \text{x} \right)$

C. $x\tan x+\ln \left| \cos \text{x} \right|$

D. $x\tan x-\ln \left| \sin x \right|$

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{-x}}\cos x$ là

A. $F\left( x \right)=\frac{1}{2}{{e}^{-x}}\left( \sin x-\cos x \right)+C$

B. $F\left( x \right)=\frac{1}{2}{{e}^{-x}}\left( \sin x+\cos x \right)+C$

C. $F\left( x \right)=-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}\left( \sin x+\cos x \right)+C$

D. $F\left( x \right)=-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}\left( \sin x-\cos x \right)+C$

Câu 5: Nguyên hàm $\int{\ln xdx}$bằng:

A. $x\ln x-x+C$

B. $\ln x+x$

C. $\ln x+x+C$

D. $\ln x-x$

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số: y = $\int{\frac{({{x}^{2}}+x){{e}^{x}}}{x+{{e}^{-x}}}}dx$ là:

A. F(x) = $x{{e}^{x}}+1-\ln \left| x{{e}^{x}}+1 \right|+C$

B. F(x) = ${{e}^{x}}+1-\ln \left| x{{e}^{x}}+1 \right|+C$

C. F(x) = $x{{e}^{x}}+1-\ln \left| x{{e}^{-x}}+1 \right|+C$

D. F(x) = $x{{e}^{x}}+1+\ln \left| x{{e}^{x}}+1 \right|+C$

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int\limits_{{}}^{{}}{\cos 2x}.\ln (\sin x+\cos x)dx$ là:

A. F(x) = $\frac{1}{2}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

B. F(x) = $\frac{1}{4}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

C. F(x) = $\frac{1}{4}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

D. F(x) = $\frac{1}{4}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int{\left( x-2 \right)\sin 3xdx}$ là:

A. F(x) = $-\frac{\left( x-2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

B. F(x) = $\frac{\left( x-2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

C. F(x) = $-\frac{\left( x+2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

D. F(x) = $-\frac{\left( x-2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{3}\sin 3x+C$

Câu 9: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{3}}\ln xdx}.$ là:

A. F(x) = $\frac{1}{4}{{x}^{4}}.\ln x+\frac{1}{16}{{x}^{4}}+C$

B. F(x) =$\frac{1}{4}{{x}^{4}}.{{\ln }^{2}}x-\frac{1}{16}{{x}^{4}}+C$

C. F(x) =$\frac{1}{4}{{x}^{4}}.\ln x-\frac{1}{16}{{x}^{3}}+C$

D. F(x) = $\frac{1}{4}{{x}^{4}}.\ln x-\frac{1}{16}{{x}^{4}}+C$

Câu 10: Tính $H=\int{x{{3}^{x}}dx}$

A. $H=\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}(x\ln 3+1)+C$

B. $H=\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}(x\ln 2-2)+C$

C. $H=\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}(x\ln 3-1)+C$

D. Một kết quả khác

Câu 11: $F(x)=4\sin x+(4x+5){{e}^{x}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số:

A. $f(x)=4\cos x+(4x+9){{e}^{x}}$

B. $f(x)=4\cos x-(4x+9){{e}^{x}}$

C. $f(x)=4\cos x+(4x+5){{e}^{x}}$

D. $f(x)=4\cos x+(4x+6){{e}^{x}}$

Đáp án

1A, 2A, 3C, 4A, 5A, 6A, 7C, 8A, 9D, 10C, 11A

Trên đây là bài viết chia sẻ phương pháp nguyên hàm từng phần, giúp các bạn học sinh giải bài tập phần nguyên hàm hiệu quả. Hy vọng với những chia sẻ trên đã giúp ích bạn trong quá trình học tập. Nếu thấy chỗ nào chưa hiểu, hay phản hồi lại để hsmath giải đáp giúp bạn. Chúc bạn học tập hiệu quả.