Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 1 và 2

Phương pháp đổi biến số là một phương pháp cực kỳ quan trọng khi giải các bài tập nguyên hàm. Tùy theo bài dễ hay khó mà bạn chỉ đổi biến 1 lần hay nhiều lần, dùng biến đơn giản hay phức tạp. Do mỗi bài khác nhau nên cách đặt biến cũng khác nhau vì vậy bài viết dưới đây, Hsmath sẽ hướng dẫn bạn cẩn thận và chi tiết.

1. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Trong nguyên hàm, có 2 phương pháp đổi biến số thường hay sử dụng

1.1 Phương pháp đổi biến số loại 1

Nếu: ∫f(x)dx = F(x) + C và với u = φ(t) là hàm số có đạo hàm thì: ∫f(u)du = F(φ(t)) + C

Các bước làm như sau

  • Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
  • Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ‘(t)dt
  • Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ‘(t)dt = g(t)dt
  • Bước 4: Khi đó tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Khi sử dụng phương pháp này, ta có những dấu hiệu sau:

phương pháp đổi biến số

1.2 Phương pháp đổi biến số loại 2

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = φ(t). Trong đó φ(t) cùng với đạo hàm của nó (φ‘(t) là những hàm số liên tục) thì ta được:

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]φ‘(t)dt = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Các bước làm như sau

  • Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
  • Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ‘(t)dt.
  • Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ‘(t)dt = g(t)dt.
  • Bước 4: Khi đó: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C

Khi sử dụng phương pháp này, ta có những dấu hiệu sau:

phương pháp đổi biến số

Để bạn hiểu hơn về phương pháp đổi biến số của nguyên hàm, chúng ta cùng nhau đến phần bài tập

2. Bài tập đổi biến số có lời giải

Bài 1. Cho $f(x) = \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}} + 1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}} + 1} + 5 \right)$, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa F(0) = 6. Tính $F\left( \frac{3}{4} \right)$.

A. $\frac{125}{16}$.

B. $\frac{126}{16}$.

C. $\frac{123}{16}$.

D. $\frac{127}{16}$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt $t = \sqrt{{{x}^{2}} + 1}\Rightarrow t\text{d}t = x\text{d}x$.

$\int{f(x)\text{d}x} = \int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}} + 1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}} + 1} + 5 \right)}\text{d}x$$ = \int{\left( 2t + 5 \right)}\text{d}t\, = {{t}^{2}} + 5t + C$$ = \left( {{x}^{2}} + 1 \right) + 5\sqrt{{{x}^{2}} + 1} + C$.

F(0) = 6 ⇒ C = 0.

Vậy $F\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{125}{16}$.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\sqrt{x}$

A. $\int{f\left( x \right)d\text{x}} = \frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x} + C$

B. $\int{f\left( x \right)d\text{x}} = \frac{1}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x} + C$

C. $\int{f\left( x \right)dx} = \frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x} + C$

D. $\int{f\left( x \right)d\text{x}} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + C$

Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\int{x\sqrt{x}dx = \int{{{x}^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{2}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}}} + C$

Bài 3. Giả sử $\int{x{{\left( 1-x \right)}^{2017}}\text{d}x} = \frac{{{\left( 1-x \right)}^{a}}}{a}-\frac{{{\left( 1-x \right)}^{b}}}{b} + C$ với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a – b bằng:

A. 2017.

B. 2018.

C. 2019.

D. 2020.

Hướng dẫn giải

Tacó:

$\begin{array}{l} \int {x{{\left( {1 – x} \right)}^{2017}}} dx\\ = \int {\left( {x – 1 + 1} \right){{\left( {1 – x} \right)}^{2017}}} dx\\ = \int {\left( {{{\left( {1 – x} \right)}^{2017}} – {{\left( {1 – x} \right)}^{2018}}} \right)} dx\\ = – \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^{2019}}}}{{2019}} + C \end{array}$

Vậy $a = 2019,\,b = 2018\Rightarrow 2a-b = 2020$.

Chọn D

Trên đây là bài viết chia sẻ cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số mà nhiều bạn học sinh quan tâm. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn. Chúc bạn học tập hiệu quả.