Bảng các công thức nguyên hàm cần nhớ

Bảng công thức nguyên hàm là bảng gồm toàn bộ công thức cơ bản bạn đã được học trong sách giáo khoa 12, những công thức nâng cao được xây dựng từ bài tập. Cùng một bài tập, nếu như bạn giải  chi tiết sẽ bất tiện, tốn thời gian hơn nhiều so với việc sử dụng công thức đã có và điều đó càng thấy rõ khi làm bài thi trắc nghiệm

Trong bài viết này mình sẽ hệ thống những lý thuyết quan trọng cần nhớ, sắp xếp các công thức nguyên hàm từ căn bản tới nâng cao để bạn tiện học nếu mới bắt đầu, hoặc cần tài liệu ôn tập nhanh chóng trước khi thi. Chúng ta bắt đầu vào bài viết ngày hôm nay.

1. Nguyên hàm là gì?

Trên một tạp K cho trước, nếu F'(x) = f(x) với ∀x ∈ K thì ta nói f(x) có nguyên hàm là F(x). Trong đó hàm số f(x) có tập xác định là K.

Dựa vào định nghĩa này, ta kí hiệu dạng toán học: ∫f(x)dx = F(x) + C.

Định lí: từ định nghĩa trên, ta suy ra Hàm số f(x) cũng có nguyên hàm dạng G(x) = F(x) + C, với C = const.

2. Tính chất của nguyên hàm

  • [∫f(x)dx]′ = f(x) và ∫f′(x)dx = f(x) + C; d(∫f(x)dx) = f(x)dx
  • Nếu tổn tại đạo hàm của hàm số G(x) thì nguyên hàm của ∫d(G(x)) = C + G(x)
  • Nếu hằng số k ≠ 0, thì ta có thể đưa hằng số này ra khỏi dấu nguyên hàm: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
  • Nguyên hàm của một tổng hay tích bằng tích hay tổng của nguyên hàm đó ∫[A(x) ± B(x)]dx = ∫A(x)dx ± ∫B(x)dx
  • Cho hàm số có dạng y = f(u), với u = A(x). Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C thì ∫f(A(x))A′(x)dx = ∫f(u)du  = F(u) + C

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng các công thức nguyên hàm quan trọng

Dưới đây là từng nhóm các công thức của nguyên hàm cần nhớ

4.1 Công thức nguyên hàm cơ bản

Có 3 nhóm công thức nguyên hàm cơ bản cần nhớ là:

Công thức cơ bản

Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm e mũ u và hàm mũ

Nguyên hàm e mũ u và hàm mũ

Nguyên hàm lượng giác

Nguyên hàm lượng giác

4.2 Công thức nguyên hàm nâng cao

Có 2 nhóm công thức nâng cao:

Nhớm thường gặp

Nhớm công thức nguyên hàm thường gặp

Nhóm công thức lượng giác

Nhóm công thức lượng giác

5. Bài tập nguyên hàm có lời giải

Bài 1. Tính ∫(x−sin2x)dx

A. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\sin x+C$.

B. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\cos 2x+C$.

C. ${{x}^{2}}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

D. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có $\int{(x-\sin 2x)dx}=\int{xdx-\int{\sin 2xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$

A. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$

B. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{1}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$

C. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}x\sqrt{x}+C$

D. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+C$

Hướng dẫn giải
– Phương pháp: Áp dụng các công thức $\int{{{x}^{\alpha }}dx}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C;\,\,\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}};\,\,{{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$

– Cách giải: $\int{x\sqrt{x}dx}=\int{{{x}^{\frac{3}{2}}}dx}=\frac{2}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}}+C=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$

Bài 3. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. ∫f′(x)dx = f(x) + C với mọi hàm f(x) có đạo hàm trên R.

B. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) liên tục trên R.

C. ∫[f(x)−g(x)]dx = ∫f(x)dx−∫g(x)dx, với mọi hàm số f(x), g(x) liên tục trên R.

D. ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx, với mọi hàm số f(x), g(x)liên tục trên R.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và tính chất.

Bài 4. Với a > 0 , cho các mệnh đề sau

$\left( i \right).\int{\frac{dx}{ax+1}=\frac{1}{a}\ln (ax+1)+C.}$

$\left( ii \right).\int{{{a}^{x+3}}dx=\frac{{{a}^{x+3}}}{\ln a}+C}$

$\left( iii \right).\int{{{(ax+b)}^{22}}dx=\frac{{{(ax+b)}^{23}}}{23}+C}$

Số các khẳng định sai là:
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hướng dẫn giải:
Ta thấy $\int{\frac{dx}{ax+1}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+1 \right|+C.}$ nên $(i)$ sai

$\left( \frac{{{a}^{x+3}}}{\ln a}+C \right)’=\frac{1}{\ln a}{{a}^{x+3}}.\ln a={{a}^{x+3}}$ nên $(ii)$ đúng

$\left( \frac{{{(ax+b)}^{23}}}{23}+C \right)’=a{{(ax+b)}^{22}}$ nên $(iii)$ sai

Do đó có 2 đáp án đúng

Chọn đáp án B

Bài 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\int{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+c.}$

B. $\int{{{2}^{x}}\text{d}x={{2}^{x}}+c.}$

C. $\int{\frac{\text{d}x}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{x}+c.$

D. $\int{\frac{\text{d}x}{x+1}}=\ln \left| x \right|+c.$

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow x={{t}^{2}}\Rightarrow \text{d}x=2t\text{dt}$$ \Rightarrow \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = \int {\frac{{2t}}{t}{\rm{dt}}} = 2t + C = 2\sqrt x + C.} $

Bài 6. Hàm số $F\left( x \right)={{e}^{x}}-\cot x+C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nào?

A. $f\left( x \right)={{e}^{x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $

B. $f\left( x \right)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $

C. $f\left( x \right)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\cdot $

D. $f\left( x \right)={{e}^{-x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có Ta có ∫f(x)dx = F(x) ⇔ (F(x))′ = f(x).

Khi đó ${{\left( {{e}^{x}}-\cot x+C \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$.

Bài viết trên đây khi chỉ hệ thống lại các công thức nguyên hàm cần nhớ, còn giúp bạn hiểu rõ hơn về nguyên hàm. Mong rằng bài viết này hữu ích với bạn. Nếu thấy hay hãy chia sẻ ngay nó tới những người bạn đang quan tâm. Chúc bạn học tốt