Giải phương trình logarit bằng 4 phương pháp

Muốn giỏi toán đòi hỏi người học phải hiểu – nhớ chính xác lý thuyết. Trong đó, phải kể đến phương trình logarit được nhiều học sinh lớp 12 quan tâm. Mỗi kiến thức lý thuyết là quan trọng, ngoài ra bạn cần nhớ được những dạng thường gặp để vào phòng thi có thể giải bài nhanh nhất có thể. Vậy những lý thuyết nào cần nhớ? Những dạng nào thường gặp? Hãy cùng nhau khám phá trong bài viết này nhé.

1. Phương trình logarit 

Phương trình logarit là phương trình có dạng: logax = 0 ( trong đó 0 < a ≠ 1)

Điều kiện: x > 0

∃m ∈ R ⇒ x = am.

2. Một số cách giải

Cách 1: Đưa về cùng cơ số

  • B1: \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
  • B2: Giải PT \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Cách 2: Đặt ẩn phụ

  • Tìm logax chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.

Cách 3: Mũ hóa logarit

Giả sử phương trình có dạng logax = g(x)

  • B1: Tìm điều kiện xác định.
  • B2: Lấy lũy thừa cơ số \(a\) hai vế: \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)

Cách 4: Đưa về phương trình tích.

  • B1: Tìm điều kiện xác định
  • B2: Đưa về \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

3. Bài tập

Bài tập 1. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=3$.

A. x=9.

B. x=7.

C. x=4.

D. x=1.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Điều kiện $x-1>0\Leftrightarrow x>1$.

Ta có ${{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=3\Leftrightarrow x-1=8\Leftrightarrow x=9$.

Vậy $x=9$ là nghiệm của phương trình.

Bài tập 2. Phương trình ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{4}^{x}}+5 \right)=1$ có tập nghiệm là tập nào sau đây?

A. $\left\{ 1;2 \right\}$.

B. $\left\{ 3;\frac{1}{9} \right\}$.

C. $\left\{ \frac{1}{3};9 \right\}$.

D. $\left\{ 0;1 \right\}$.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{4}^{x}}+5 \right)=1$ $ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}\left( {{2^x} + 1} \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{4}^{x}}+5 \right)={{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{2}^{x}}+1 \right) \right]$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}+5=3\left( {{2}^{x}}+1 \right)$

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{3.2}^{x}}+2=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.$

Bài tập 3. Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 6x-10 \right)+1=0$ là:

A. Vô nghiệm.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Điều kiện: $x>\sqrt{3}$.

Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}-3}{6x-10}=-1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3}{6x-10}=\frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1 \end{array} \right.$

So điều kiện nhận nghiệm $x=2$ nên phương trình có 1 nghiệm.

Bài tập 4. Phương trình ${{\log }_{\sqrt[4]{2}}}{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}=8$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

${{\log }_{\sqrt[4]{2}}}{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}=8$ $\left( 1 \right)$

$\Rightarrow $ ĐK: ${{x}^{2}}-2\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm \sqrt{2}$

$\left( 1 \right)\Rightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt[4]{2} \right)}^{8}}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}=4$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 4\\ {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 2 \vee x = 2\\ x = 0. \end{array} \right.$

Bài tập 5. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$là các nghiệm của phương trình $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0$. Giá trị của biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ bằng bao nhiêu?

A. 20.

B. 5.

C. 36.

D. 25.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Điều kiện $x>0$. Giải phương trình bậc hai với ẩn là ${{\log }_{2}}x$ ta được:

$\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.$ .

Khi đó, $P={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}=20$.

Bài tập 6. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${{\log }_{5}}\left( {{25}^{x}}-{{\log }_{5}}m \right)=x$ có nghiệm duy nhất.

A. $m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}.$

B. $m=1$.

C. $\left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}} \end{array} \right..$

D. $m\ge 1.$

Hướng dẫn giải
Chọn C.

PT$\Leftrightarrow {{25}^{x}}-{{\log }_{5}}m={{5}^{x}}$

Xét $g\left( t \right)={{t}^{2}}-t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ ta có bảng biến thiên:

PT đã cho có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}m = – \frac{1}{4}\\ {\log _5}m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}\\ m \ge 1 \end{array} \right.$.

Hiểu và nhớ rõ 4 cách giải trên là vô cùng quan trọng, nó sẽ giúp bạn giải phương trình logarit nhanh và hiệu quả hơn. Nếu bạn thấy bài viết này hữu ích hãy chia sẻ tới nhiều bạn khác nha. Chúc bạn học tốt.