Lũy thừa và hàm số mũ

Trong chương trình toán 12, có rất nhiều chủ đề toán quan trọng, tuy nhiên lũy thừa và hàm số mũ vẫn được nhiều bạn học sinh nhắc tới nhiều hơn bởi đây là phần dễ kiếm điểm. Bạn đã học bài lũy thừa và hàm số mũ chưa? Có biết vận dụng thành thạo các dạng toán liên qua hay không? Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn nó nha.

1. Lũy thừa là gì?

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Gọi n là một số nguyên dương và a là số thực tùy ý.

Khi đó: lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: ${{a}^{n}} = \underbrace{a.a……a}_{n}$ ($n$ thừa số).

Với a ≠ 0 thì ${{a}^{0}} = 1;\,\,{{a}^{-n}} = \frac{1}{{{a}^{n}}}$

Lúc này ta sẽ gọi:

  • n là mũ số
  • a là cơ số

Chú ý: 00 và 0−n không có nghĩa.

1.2 Một số tính chất của lũy thừa

Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

${{a}^{\alpha }}\cdot {{a}^{\beta }} = {{a}^{\alpha +\beta }};$ $\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}} = {{a}^{\alpha -\beta }};$ ${{({{a}^{\alpha }})}^{\beta }} = {{a}^{\alpha .\beta }}\ ;$ ${{(ab)}^{\alpha }} = {{a}^{\alpha }}\cdot {{b}^{\alpha }};$${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }} = \frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}};$ ${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-\alpha }} = {{\left( \frac{b}{a} \right)}^{\alpha }}\cdot $

  • Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α>β;
  • Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β.

Với mọi 0 < a < b, ta có: am<bm ⇔ m > 0; am > bm ⇔ m<0

Chú ý:

  • Với số mũ nguyên hay không nguyên thì mọi tính chất nói trên đều đúng
  • Trong trường hợp mũ là số 0 hoặc nguyên âm thì bắt buộc cơ số a ≠ 0
  • trong trường hợp mà số mũ không nguyên thì bắt buộc cơ số a > 0

2. Phương trình ${{x}^{n}} = b.$

Hãy giải phương trình sau xn = b (1)

Hướng dẫn

TH1: Nếu n là lẽ thì phương trình (1) sẽ có 1 nghiệm

TH2: Nếu n là chẵn thì phương trình (1) sẽ biện luận như sau

  • Phương trình vô nghiệm khi b < 0.
  • PHương trình có một nghiệm x = 0 khi b = 0
  • Phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau khi b > 0

3. Một số tính chất của căn bậc $n$

Với a,b ∈ R; n ∈ N∗, ta có:

Đặc biệt: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[m\cdot n]{{{a}^{m}}}$

4. Hàm số lũy thừa

4.1. Khái niệm

Xét hàm số y = xα, với α là số thực cho trước.

Hàm số y = xα, với α ∈ R, được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể.

  • Với α nguyên dương, tập xác định là R.
  • Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R∖{0}.
  • Với α không nguyên, tập xác định (0;+∞).

4.2 Khảo sát hàm số lũy thừa $y = {{x}^{\alpha }}$

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα luôn chứa khoảng (0;+∞) với mọi α ∈ R. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = xα trên khoảng này.

Đồ thị của hàm số.

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1).

5. Khảo sát hàm số mũ $y={{a}^{x}},\,a>0,a\ne 1.$

Cho hàm số mũ có dạng $y={{a}^{x}},\,a>0,a\ne 1.$ Hãy khảo sát hàm số mũ này

6. Bài tập

Bài tập 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $f\left( x \right)={{\left( 4x-3 \right)}^{\frac{1}{2}}}$.

A. $D=\mathbb{R}.$

B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{4} \right\}.$

C. $D=\left[ \frac{3}{4};+\infty \right)$.

D. $D=\left( \frac{3}{4};+\infty \right).$

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện hàm$f\left( x \right)={{\left( 4x-3 \right)}^{\frac{1}{2}}}$ có nghĩa là $4x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{4}$ .

Bài tập 2. Tập xác định của hàm số $y={{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{-\pi }}$ là

A. $\left( 0;\frac{1}{2} \right)$ .

B. $\left( 0;2 \right)$ . C.$\left[ 0;2 \right]$.

D. $\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ .

Lời giải

Chọn B.

Hàm số XĐ $\Leftrightarrow 2x-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<x<2$.

Vậy TXĐ: $D=\left( 0;2 \right)$.

Bài tập 3. Tập xác định của hàm số $y={{x}^{\frac{1}{3}}}$ là

A. $\mathbb{R}$.

B. $\left( 0;+\infty \right)$.

C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ .

D. $\left[ 0;+\infty \right)$

Lời giải

Chọn B.

Căn cứ ĐK của hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Bài tập 4. Cho hàm số $y={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;\,2 \right)$.

A. $3{{e}^{3}}+1\le m<3{{e}^{4}}+1$.

B. $m\ge 3{{e}^{4}}+1$.

C. $3{{e}^{2}}+1\le m\le 3{{e}^{3}}+1$.

D. $m<3{{e}^{2}}+1$.

Lời giải

Chọn B.

${y}’={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\ln \left( \frac{4}{2017} \right).{{\left( {{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1 \right)}^{\prime }}$ =${y}’={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\ln \left( \frac{4}{2017} \right).\left( 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}} \right)$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;\,2 \right)$  ${y}’={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\ln \left( \frac{4}{2017} \right).\left( 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}} \right)\ge 0,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)$(*), mà $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x}} – \left( {m – 1} \right){e^x} + 1}} > 0\,,\,\forall x \in R\\ \ln \left( {\frac{4}{{2017}}} \right) < 0 \end{array} \right.$ Nên (*)  $3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}\le 0,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)$  $3{{e}^{2x}}+1\le m,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)$

Đặt $g\left( x \right)=3{{e}^{2x}}+1\,,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)$, $g\left( x \right)=3{{e}^{2x}}.2>0\,,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)$

Vậy (*) xảy ra khi $m\ge g\left( 2 \right)$  $m\ge 3{{e}^{4}}+1$.

Bài tập 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu $a,\,\,b,\,\,c$ dương và $a+b=c$ thì ${{a}^{2016}}+{{b}^{2016}}<{{c}^{2016}}$.

B. Hàm số $y={{x}^{x}}$ có đạo hàm là $y’=x.{{x}^{x-1}}$.

C. $A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ là một số tự nhiên.

D. Hàm $y={{\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}^{\sqrt{2}}}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

$\begin{array}{l} y = {x^x} \Leftrightarrow \ln y = x\ln x \Rightarrow {\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {x\ln x} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow \frac{{y’}}{y} = \ln x + 1 \Leftrightarrow y’ = y\left( {\ln x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow y’ = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right)\,\, \Rightarrow y’ = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \ne x.{x^{x – 1}} \end{array}$

Hoặc bấm máy ${{\left. \frac{d}{dx}\left( {{x}^{x}} \right) \right|}_{x=2}}=6,772588722\ne {{2.2}^{2-1}}=4$. Suy ra đáp án B sai.

Cách 2: loại trừ

Xét câu A: chọn $a=b=1\Rightarrow c=2$$\Rightarrow {{1}^{2016}}+{{1}^{2016}}<{{2}^{2016}}$ (đúng). Xét câu C: bấm máy ta có $A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$ (đúng). Xét câu D: ${{x}^{2}}-x+2>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$(đúng).

Suy ra đáp án B sai.

Trên đây là bài viết chia sẻ đầy đủ về lý thuyết và cách tìm Lũy thừa và hàm số mũ bạn cần nhớ Chúc bạn học tốt dạng toán này.