Hệ thống công thức logarit lớp 12 và bài tập có lời giải

Bạn đang học tới bài logarit, không nhớ hết công thức logarit hoặc cách vận dụng các công thức sao cho hiệu quả? Tuy nhiên, lại chưa tìm được tài liệu tốt giúp bạn giải quyết vấn đề này. Không cần lo lẵng nữa bởi bài viết này là dành cho bạn. Bài viết được chia làm 2 phần, phần đầu mình hệ thống những lý thuyết cần nhớ, công thức quan trọng và phần cuối là bài tập với mục đích rèn luyện bạn kĩ năng giải bài tập sao cho hiệu quả. Chúng ta bắt đầu vào ngày bài học này

1. Công thức logarit

1.1 logarit là gì?

Nếu 0 < a ≠ 1; b > 0 thì ${{\log }_{a}}b=N\Leftrightarrow b={{a}^{N}}.$

Khi đó:

  • Số ${{\log }_{a}}b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b).
  • ${{\log }_{a}}1=0;\,\,{{\log }_{a}}a=1$
  • ${{\log }_{a}}{{a}^{b}}=b,\forall b\in R$
  • ${{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b,\forall b>0$

Tính chất

  • Nếu a > 1; b, c > 0 thì ${{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c$ <=> b > c
  • Nếu 0 < a < 1; b, c > 0 thì ${{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c$ <=> b < c
  • Nếu a > 1;b > 0 thì ${{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b>1;$${{\log }_{a}}b<0$<=> 0 < b < 1
  • Nếu 0 < a < 1;b > 0 thì ${{\log }_{a}}b<0\Leftrightarrow b>1;$${{\log }_{a}}b>0$ <=> 0 < b < 1
  • Nếu 0 < a ≠ 1; b, c > 0 thì ${{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b=c$

1.2 Công thức logarit

Dưới đây là bảng các công thức logarit quan trọng cần nhớ

Công thức logarit

2. Bài tập

Bài tập 1. Cho ${{\log }_{12}}27=a$ thì ${{\log }_{6}}16$ tính theo a là:

A. $\frac{3-a}{3+a}$.

B. $\frac{a+3}{4(3-a)}$.

C. $\frac{a+3}{a-3}$.

D. $\frac{4(3-a)}{3+a}$.

Lời giải chi tiết

Chọn D.

$a={{\log }_{12}}27=\frac{{{\log }_{3}}27}{{{\log }_{3}}12}=\frac{3}{1+2{{\log }_{3}}2}\Rightarrow {{\log }_{3}}2=\frac{3-a}{2a}$.

${{\log }_{6}}16=\frac{{{\log }_{3}}16}{{{\log }_{3}}6}=\frac{4{{\log }_{3}}2}{1+{{\log }_{3}}2}=\frac{4\frac{3-a}{2a}}{1+\frac{3-a}{2a}}=\frac{4(3-a)}{a+3}$.

Bài tập 2. Xét các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a>b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)$.

A. ${{P}_{\min }}=19$.

B. ${{P}_{\min }}=13$.

C. ${{P}_{\min }}=14$.

D. ${{P}_{\min }}=15$.

Lời giải chi tiết

Chọn D.

Với điều kiện đề bài, ta có

$\begin{array}{c} P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\ = {\left[ {2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a} \right]^2} + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\ = 4{\left[ {{{\log }_{\frac{a}{b}}}\left( {\frac{a}{b}.b} \right)} \right]^2} + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\ = 4{\left[ {1 + {{\log }_{\frac{a}{b}}}b} \right]^2} + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right) \end{array}$

Đặt $t={{\log }_{\frac{a}{b}}}b>0$ (vì $a>b>1$), ta có $P=4{{(1+t)}^{2}}+\frac{3}{t}=4{{t}^{2}}+8t+\frac{3}{t}+4=f(t)$.

Ta có ${f}'(t)=8t+8-\frac{3}{{{t}^{2}}}=\frac{8{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-3}{{{t}^{2}}}=\frac{(2t-1)(4{{t}^{2}}+6t+3)}{{{t}^{2}}}$

Vậy ${f}'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$. Khảo sát hàm số, ta có ${{P}_{\min }}=f\left( \frac{1}{2} \right)=15$.

Bài tập 3. Tính giá trị của biểu thức $P=\ln \left( tan1\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ } \right)+\ln \left( tan2{}^\circ \right)+\ln \left( tan3{}^\circ \right)+…+\ln \left( tan89{}^\circ \right)$.

A. $P=1.$

B. $P=\frac{1}{2}.$

C. $P=0.$

D. $P=2.$

Lời giải chi tiết

Chọn C.

$\begin{array}{l} P = \ln \left( {tan1{\rm{^\circ }}} \right) + \ln \left( {tan2^\circ } \right) + \ln \left( {tan3^\circ } \right) + … + \ln \left( {tan89^\circ } \right)\\ \,\,\,\,\, = \ln \left( {tan1^\circ .tan2^\circ .tan3^\circ …tan89^\circ } \right)\,\,\\ \,\,\,\,\, = \ln \left( {tan1^\circ .tan2^\circ .tan3^\circ …tan45^\circ .\cot 44^\circ .\cot 43^\circ …\cot 1^\circ } \right) \end{array}$

$\,\,\,\,\,=\ln \left( \tan 45{}^\circ \right)=\ln 1=0.$(vì $\tan \alpha .\cot \alpha =1$)

Bài tập 4. Cho ${{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)=1$. Khi đó giá trị biểu thức ${{\log }_{{{a}^{2}}{{b}^{3}}}}\frac{\sqrt[5]{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}}{a{{b}^{3}}}$ là

A. $\frac{7}{15}$.

B. $\frac{15}{7}$.

C. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

Lời giải chi tiết

Chọn A.

${{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)=1\Leftrightarrow 2+3\,\text{lo}{{\text{g}}_{a}}\,b=1\Leftrightarrow \text{lo}{{\text{g}}_{a}}\,b=-\frac{1}{3}$.

Ta lại có ${{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)=1\Leftrightarrow a{{b}^{3}}=1$.

Cách 1:Chọn $a=8\Rightarrow \text{lo}{{\text{g}}_{8}}\,b=-\frac{1}{3}\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$.

Bấm máy ${{\log }_{{{a}^{2}}{{b}^{3}}}}\frac{\sqrt[5]{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}}{a{{b}^{3}}}=\frac{7}{15}$.

Cách 2: ${{\log }_{{{a}^{2}}{{b}^{3}}}}\frac{\sqrt[5]{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}}{a{{b}^{3}}}={{\log }_{{{a}^{2}}{{b}^{3}}}}\sqrt[5]{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}=\frac{1}{5}{{\log }_{{{a}^{2}}{{b}^{3}}}}{{a}^{3}}{{b}^{2}}=\frac{1}{5}.\frac{{{\log }_{a}}{{a}^{3}}b}{{{\log }_{a}}{{a}^{2}}{{b}^{3}}}=\frac{1}{5}.\frac{3-\frac{1}{3}}{2-1}=\frac{7}{15}$.

Bài tập 5. Với các số thực dương $a,\text{ b}$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ 2x – 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > – 1\\ x > \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

B. ${{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}_{\,}b$.

C. ${{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+3{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}_{\,}b$.

D. ${{\log }_{2}}\left( \frac{2{{a}^{3}}}{b} \right)=1+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}_{\,}b$.

Lời giải chi tiết

Chọn A.

Ta có

$\begin{array}{l} {\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = {\log _2}\left( {2{a^3}} \right) – {\log _2}\left( b \right)\\ = {\log _2}2 + {\log _2}{a^3} – {\log _2}b\\ = 1 + 3{\log _2}a – {\log _\,}b \end{array}$

Bài tập 6. Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực dương, khác $1$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ${{a}^{c}}={{b}^{d}}\Leftrightarrow \ln \left( \frac{a}{b} \right)=\frac{c}{d}.$

B. ${{a}^{c}}={{b}^{d}}\Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b}=\frac{d}{c}.$

C. ${{a}^{c}}={{b}^{d}}\Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b}=\frac{c}{d}.$

D. ${{a}^{c}}={{b}^{d}}\Leftrightarrow \ln \left( \frac{a}{b} \right)=\frac{d}{c}.$

Lời giải chi tiết

Chọn B.

${{a}^{c}}={{b}^{d}}\Leftrightarrow c\ln a=d\ln b\Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b}=\frac{d}{c}\cdot $

Bài tập 7. Cho $a,b>0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${{a}^{\ln b}}={{b}^{\ln a}}$.

B. ${{\ln }^{2}}(ab)=\ln {{a}^{2}}+\ln {{b}^{2}}$.

C. $\ln \left( \frac{a}{b} \right)=\frac{\ln a}{\ln b}$.

D. $\ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}(\ln \sqrt{a}+\ln \sqrt{b})$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có $\ln a.\ln b=\ln b.\ln a\Leftrightarrow \ln \left( {{b}^{\ln a}} \right)=\ln \left( {{a}^{\ln b}} \right)\Leftrightarrow {{b}^{\ln a}}={{a}^{\ln b}}$ .

Bài tập 8. Nếu ${{\log }_{a}}b=p$ thì ${{\log }_{a}}{{a}^{2}}{{b}^{4}}$ bằng

A.$4p+2$ B.$4p+2a$ C.${{a}^{2}}{{p}^{4}}$ D.${{p}^{4}}+2a$

Lời giải chi tiết

Chọn A.

${{\log }_{a}}{{a}^{2}}{{b}^{4}}={{\log }_{a}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}{{b}^{4}}=2+4{{\log }_{a}}b=2+4p$.

Bài tập 9. Cho $a,\ b$ là các số thực dương khác 1, thoả ${{\log }_{{{a}^{2}}}}b+{{\log }_{{{b}^{2}}}}a=1$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a=\frac{1}{b}$.

B. $a=b$.

C. $a=\frac{1}{{{b}^{2}}}$.

D. $a={{b}^{2}}$.

Lời giải chi tiết

Chọn B.

Ta có: ${{\log }_{{{a}^{2}}}}b+{{\log }_{{{b}^{2}}}}a=1\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a=2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _a}b = 1. \end{array}$

Suy ra: $a=b$.

Bài tập 10. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${{a}^{\frac{3}{4}}}>{{a}^{\frac{4}{5}}}$ và ${{\log }_{b}}\frac{1}{2}<{{\log }_{b}}\frac{2}{3}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a>1,b>1$.

B. $a>1,0<b<a$.

C. $0<a<1,0<b<1$.

D. $0<a<1,b>1$.

Lời giải chi tiết

Chọn D.

Ta có $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}\Rightarrow ~$${{a}^{\frac{3}{4}}}>{{a}^{\frac{4}{5}}}$ nên hàm số $y={{a}^{x}}$ giảm. Suy ra $0<a<1$.

Và $\frac{1}{2}<\frac{2}{3}\Rightarrow {{\log }_{b}}\frac{1}{2}<{{\log }_{b}}\frac{2}{3}$ nên hàm số$y={{\log }_{b}}x$ tăng. Suy ra $b>1$.

Đáp án: D. $0<a<1,b>1$

Trên đây là bài viết chia sẻ những công thức logarit lớp 12 cần nhớ và những bài tập giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải bài sao cho hiệu quả. Hy vòng bài viết này giúp ích được cho bạn nhiều. Đừng quên chia sẻ nó tới những bạn bè nha.