Bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ và logarit là một trong những nội dung khó nhưng đầy thú vị. Nó là phần nâng cao của chương mũ và logarit nên những câu xuất hiện thuộc dạng này nằm trong đề thi là những câu 8+. Trước khi học bài này bạn cần xem kĩ những bài viết đã chia sẻ ở buổi trước đều hiểu nhanh nội dung bài viết này. Ta bắt đầu nào.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ là bất phương trình có thể là 1 trong các dạng sau

  • ax < b
  • ax ≥ b
  • ax < b
  • ax ≤ b

với a < 0,a ≠ 1.

Ta giả sử giải một dạng tổng quát ax < b (1)

Trường hợp 1: b ≤ 0 ⇒ Tập nghiệm là R, vì ${{a}^{x}} < b,\forall x\in \mathbb{R}.$.

Trường hợp 2: b > 0 thì (1) ⇔ ${{a}^{x}}>{{a}^{{{\log }_{a}}b}}.$

  • Nếu a < 1 ⇒ $x>{{\log }_{a}}b.$
  • Nếu 0 < a < 1 ⇒ $x < {{\log }_{a}}b.$

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

  • Với a < 1, ta có đồ thị sau.

  • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

2. Bất phương trình logarit cơ bản

BPT logarit là 1 trong các bất phương trình sau:

  • logax < b
  • logax≥b
  • logax < b
  • logax ≤ b

với a < 0,a≠1.

Giả sử giải BPT logax < b.

  • Nếu a < 1 ⇒ logax < b⇔x>ab.
  • Nếu 0 < a < 1 ⇒  logax < b⇔0 < x < ab.

Đồ thị minh họa như sau

Nếu a < 1:

Nếu 0 < a < 1:

  • Nếu a < 1: logax < b ⇔ x > ab.
  • Nếu 0 < a < 1:logax < b ⇔ 0 < x < ab.

3. Bài tập

Bài tập 1. Biết $x=\frac{15}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $2{{\log }_{a}}\left( 23x-23 \right)>{{\log }_{\sqrt{a}}}\left( {{x}^{2}}+2x+15 \right)$ $\left( * \right)$ Tập nghiệm $T$ của bất phương trình $\left( * \right)$ là

A. $T=\left( -\infty ;\frac{19}{2} \right)$.

B. $T=\left( 1;\frac{17}{2} \right)$.

C. $T=\left( 2;8 \right)$.

D. $T=\left( 2;19 \right)$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} 2{\log _a}\left( {23x – 23} \right) < {\log _{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _a}\left( {23x – 23} \right) < {\log _a}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right) \end{array}$

Nếu $a < 1$ ta có

$\begin{array}{l} {\log _a}\left( {23x – 23} \right) < {\log _a}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 23x – 23 < {x^2} + 2x + 15\\ {x^2} + 2x + 15 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x < 19 \end{array}$

Nếu $0 < a < 1$ta có $\begin{array}{l} {\log _a}\left( {23x – 23} \right) < {\log _a}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 23x – 23 < {x^2} + 2x + 15\\ 23x – 23 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x < 2\\ x < 19 \end{array} \right. \end{array}$

Mà $x=\frac{15}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình. Chọn D.

Bài tập 2. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}(x+1) < {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)$.

A. $S=\left( 2;+\infty \right)$.

B. $S=\left( -\infty ;2 \right)$.

C. $S=\left( \frac{1}{2};2 \right)$.

D. $S=\left( -1;2 \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} x + 1 < 0\\ 2x – 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < – 1\\ x < \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow x < \frac{1}{2}$ (*)

$\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 < 2x – 1\\ \Leftrightarrow x – 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2 \end{array}$

Kết hợp (*) $\Rightarrow $ $S=\left( \frac{1}{2};2 \right)$.

Bài tập 3. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{\frac{1}{x}}} < {{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{\frac{3}{x}+5}}$.

A. $S=\left( -\infty ;\frac{-2}{5} \right)$.

B. $S=\left( -\infty ;\frac{-2}{5} \right)\cup \left( 0;+\infty \right).$

C. $S=\left( 0;+\infty \right).$

D. $S=\left( \frac{-2}{5};+\infty \right).$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{3}{x} + 5}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} < \frac{3}{x} + 5\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + 5x}}{x} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < – \frac{2}{5}}\\ {x < 0} \end{array}} \right. \end{array}$

Bài tập 4. Tìm tập $S$ của bất phương trình: ${{3}^{x}}{{.5}^{{{x}^{2}}}} < 1$.

A. $\left( -{{\log }_{5}}3;0 \right]$.

B. $\left[ {{\log }_{3}}5;0 \right)$.

C. $\left( -{{\log }_{5}}3;0 \right)$.

D. $\left( {{\log }_{3}}5;0 \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: ${{3}^{x}}{{.5}^{{{x}^{2}}}} < 1$$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}{{.5}^{{{x}^{2}}}} \right) < 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{5}}3 < 0$ $ \Leftrightarrow – {\log _5}3 < x < 0$ nên $S=\left( -{{\log }_{5}}3;0 \right)$.

Bài tập 5. Tập nghiệm của bất phương trình $\ln \left[ \left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)+1 \right]>0$ là

A. $\left( 1;2 \right)\cap \left( 3;+\infty \right)$.

B. $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;3 \right)$.

C. $\left( -\infty ;1 \right)\cap \left( 2;3 \right)$.

D. $\left( 1;2 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

+, Đk: $\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)+1>0.$

+, BPT$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)+1>1$ (đã thỏa mãn ĐK)

$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)>0$$\Leftrightarrow x\in \left( 1;2 \right)\cup \left( 3;+\infty \right).$

Bài tập 6. Tập nghiệm của bất phương trình $\log \left( {{x}^{2}}+25 \right)>\log \left( 10x \right)$ là

A. $\mathbb{R}$.

B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}$.

C. $\left( 0;5 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$.

D. $\left( 0;+\infty \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $\log \left( {{x}^{2}}+25 \right)>\log \left( 10x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 25 < 10x\\ 10x < 0{\rm{ }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 5\\ x < 0 \end{array} \right.$

Bài tập 7. Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{\log }_{\frac{1}{2}}}x \right) < 1$ là:

A. $\left( 0;1 \right).$

B. $\left( \frac{1}{8};1 \right).$

C. $\left( 1;8 \right).$

D. $\left( \frac{1}{8};3 \right).$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

$\begin{array}{l} {\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1 \Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}x < 3\\ \Leftrightarrow 1 < x < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow \frac{1}{8} < x < 1 \end{array}$.

Bài tập 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)>-1$ là:

A. $\left( 1;\frac{3}{2} \right)$.

B. $\left( \frac{3}{2};+\infty \right)$.

C. $\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)$.

D. $\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

$\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) < – 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 1 < 2}\\ {2x – 1 < 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < \frac{3}{2}}\\ {x < \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}. \end{array}$

Bài tập 9. Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)>1$ có tập nghiệm là

A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

B. $\mathbb{R}$.

C. $\left\{ 1 \right\}$.

D. $\varnothing $.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

$\begin{array}{l} {\log _2}\left( {{x^2} – 2x + 3} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 3 < {2^1}\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \end{array}$

Vậy tập nghiệm $S=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Bài tập 10. Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{\log }_{\frac{1}{2}}}x \right) < 1$ là:

A. $\left( 0;1 \right).$

B. $\left( \frac{1}{8};1 \right).$

C. $\left( 1;8 \right).$

D. $\left( \frac{1}{8};3 \right).$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

$\begin{array}{l} {\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1 \Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}x < 3\\ \Leftrightarrow 1 < x < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow \frac{1}{8} < x < 1 \end{array}$

Bài tập 11. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{{{7}^{{{x}^{2}}-4}}}$. Hỏi khẳng định nào sau đây sai?

A. $f\left( x \right)>9\Leftrightarrow x-2-\left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{3}}7>0.$

B. $f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\log 3-\left( {{x}^{2}}-4 \right)\log 7>0.$

C. $f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\ln 3-\left( {{x}^{2}}-4 \right)\ln 7>0.$

D. $f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\log }_{0,2}}3-\left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{0,2}}7>0.$

Hướng dẫn giải

$f\left( x \right)>9$ $\Leftrightarrow $ $\frac{{{3}^{x}}}{{{7}^{{{x}^{2}}-4}}}>9$ $\Leftrightarrow $ ${{3}^{x-2}}>{{7}^{{{x}^{2}}-4}}$ $\Leftrightarrow $ $\left( x-2 \right){{\log }_{0,2}} < \left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{0,2}}7$. Chọn đáp án D.

Bài tập 12. Cho $a$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn $3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a}$. Tìm phần nguyên của ${{\log }_{2}}\left( 2017a \right)$.

A. 14.

B. 22.

C. 16.

D. 19.

Hướng dẫn giải

Đặt $t=\sqrt[6]{a},t>0$ , từ giả thiết ta có $3{{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)>2{{\log }_{2}}{{t}^{3}}$

$\Leftrightarrow f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}{{t}^{2}}>0$

$\begin{array}{l} f’\left( t \right) = \frac{1}{{\ln 3}}.\frac{{3{t^2} + 2t}}{{{t^3} + {t^2} + 1}} – \frac{2}{{\ln 2}}.\frac{1}{t}\\ = \frac{{\left( {3ln2 – 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 – 2\ln 3} \right){t^2} – 2\ln 3}}{{\ln 2.\ln 3.\left( {{t^4} + {t^3} + t} \right)}} \end{array}$

Vì đề xét $a$ nguyên dương nên ta xét $t\ge 1$.

Xét$g\left( t \right)=\left( 3ln2-2\ln 3 \right){{t}^{3}}+\left( 2\ln 2-2\ln 3 \right){{t}^{2}}-2\ln 3$

Ta có${g}’\left( t \right)=3\ln \frac{8}{9}{{t}^{2}}+2\ln \frac{4}{9}t=t\left( 3\ln \frac{8}{9}t+2\ln \frac{4}{9} \right)$

${g}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{2\ln {}^{9}/{}_{4}}{3\ln {}^{8}/{}_{9}} < 0$.

Lập bảng biến thiên suy ra hàm số $g\left( t \right)$ giảm trên khoảng $\left[ 1;+\infty \right)$.

Suy ra $g\left( t \right)\le g\left( 1 \right)=5\ln 2-6\ln 3 < 0\Rightarrow {f}’\left( t \right) < 0$ . Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn giảm trên khoảng $\left[ 1;+\infty \right)$. Nên $t=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( t \right)=0$. Suy ra $f\left( t \right)>0\Leftrightarrow f\left( t \right)>f\left( 4 \right)\Leftrightarrow t < 4\Leftrightarrow \sqrt[6]{a} < 4\Leftrightarrow a < 4096$.

Nên số nguyên $a$ lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là $a=4095$.

Lúc đó ${{\log }_{2}}\left( 2017a \right)\approx 22,97764311$.

Nên phần nguyên của ${{\log }_{2}}\left( 2017a \right)$ bằng 22.

Đáp án: B.

Bài tập 13. Tìm $m$ để bất phương trình $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$ thoã mãn với mọi $x\in \mathbb{R}$.

A. $-1 < m\le 0$.

B. $-1 < m < 0$.

C. $2 < m\le 3$.

D. $2 < m < 3$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

BPT thoã mãn với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$\left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4x + m < 0\\ 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m \end{array} \right.$$\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4x + m < 0\\ \left( {5 – m} \right){x^2} – 4x + 5 – m \ge 0 \end{array} \right.$ $\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 16 – 4{m^2} < 0\\ 5 – m < 0\\ 16 – 4{\left( {5 – m} \right)^2} \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ \left[ \begin{array}{l} m < – 2\\ m < 2 \end{array} \right.\\ m < 5\\ \left[ \begin{array}{l} m \le 3\\ m \ge 7 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow 2 < m \le 3

Bài tập 14. Trong tất cả các cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1$. Tìm $m$ để tồn tại duy nhất cặp $\left( x;y \right)$ sao cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$.

A. ${{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$.

B. $\sqrt{10}-\sqrt{2}$ và $\sqrt{10}+\sqrt{2}$.

C. ${{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$ và ${{\left( \sqrt{10}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$.

D. $\sqrt{10}-\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0$ $\left( 1 \right)$.

Giả sử $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn pt $\left( 1 \right)$, khi đó tập hợp điểm $M$ là hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 2;2 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$.

Các đáp án đề cho đều ứng với $m>0$. Nên dễ thấy ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$ là phương trình đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $J\left( -1;1 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{m}$.

Vậy để tồn tại duy nhất cặp $\left( x;y \right)$ thỏa đề khi chỉ khi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài

$\Leftrightarrow IJ={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow \sqrt{10}=\sqrt{m}+\sqrt{2}\Leftrightarrow m={{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$

Trên đây là bài viết Bất phương trình mũ và logarit chia sẻ đầy đủ lý thuyết quan trọng và bài tập hữu ích. Mong rằng nó sẽ hữu ích dành cho bạn.