Bài toán lãi suất ngân hàng

Chắc hẳn bạn không lạ gì khái niệm bài toán lãi suất ngân hàng. Đây là bài toán quen thuộc khi gia đình, người thân có tiền gửi hoặc vay ngân hàng. Vậy thì làm cách nào để tính được tiền lãi suất ngân hàng? Hãy tham khảo bài viết dưới đây để hiểu chi tiết hơn, biết được có bao nhiêu lãi suất? Công thức tương ứng là gì? Hãy tham khảo bài viết dưới đây.

A. Lý thuyết bài toán lãi suất ngân hàng

1. Lãi đơn là gì?

Là tiền lãi chỉ tính dựa theo số tiền gốc.

Ví dụ: Giả sử bạn gửi ngân hàng tiền gốc 50 triệu với lãi suất 7%/ 1 năm. Sau một năm bạn thu được tiền lãi là 3,509,589 VNĐ

Nếu bạn không rút tiền gốc và tiền lãi thì sau một năm tiếp theo số tiền lãi thu được vẫn là 3,509,589 VNĐ

Như vậy, tiền lãi dù có rút hay không thì ngân hàng vẫn không tính lãi cho bạn:

Công thức tính lãi suất đơn: Sn = A + nAr = A(1 + nr)

Sn là số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈N )

A là số tiền gốc

r là kì hạn

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r là $\frac{r}{100}$ .

2. Lãi kép là gì?

Khác với lãi đơn, lãi kép tính cả tiền lãi của kì hạn trước khi khách hàng gửi không rút tiền lãi ra.

Công thức:

  • Sn là số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈N )
  • A là số tiền gốc
  • r là kì hạn

3. Tiền gửi hàng tháng là gì?

Đây là số tiền cố định mà khách hàng phải gửi đúng ngày vào tài khản ngân hàng. Ngày này do hợp đồng trao đổi trước đó giữa khách hàng và ngân hàng.

Công thức

  • A là số tiền khách hàng gửi vào ngân hàng mỗi tháng.
  • r là kì hạn
  • Sn là số tiền mà khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n∈N )

Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

  • Số tiền gửi là A đồng với lãi suất r/tháng.
  • Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.
  • Sn là số tiền còn lại sau n tháng

4. Vay vốn trả góp là gì?

Giả sử một cá nhân hay tổ chức muốn vay A đồng với lại suất r/tháng và dự định trả hết sau n tháng thì: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng

5. Bài toán tăng lương

Hợp đồng trả lương của một lao động nêu rõ:

  • Lương khởi điểm A đồng/ tháng
  • Sau n tháng thì lao động đó được thăng thêm r/tháng

Hỏi sau kn tháng thì lao động đó được lĩnh là bao nhiêu?

Công thức tiền lĩnh sau kn tháng: ${{S_{kn}} = Ak\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^k} – 1}}{r}}$

6. Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức: Xm = Xn (1 + r)m – n với m, n ∈ Z+, m ≥ n

Trong đó:

  • r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m
  • Xm dân số năm m
  • Xn dân số năm n

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là ${r\% = \sqrt[{m – n}]{{\frac{{{X_m}}}{{{X_n}}}}} – 1}$

7. Lãi kép liên tục

Gọi Sn là tổng số tiền khách hàng nhận được sau n năm với lãi suất kép r/năm và tiền gốc gửi vào là A.

Công thức Sn=A(1+r)n trong đó (n∈N)

Trong trường hợp một năm có m kì hạn và lãi suất mỗi kì hạn là rm thì tổng số tiền khách hàng nhận được

${{S}_{n}}=A{{\left( 1+\frac{r}{m} \right)}^{m.n}}$

Nếu m→+∞ thì số tiền khách nhận được tính theo công thức: S=Aen.r ( công thức tăng trưởng mũ)

B. Bài tập

Bài tập 1. Một người gửi $15$ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất $1,65%$ một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất $20$ triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

A. $4$ năm $1$ quý.

B. $4$ năm $2$ quý.

C. $4$ năm $3$ quý.

D. $5$ năm.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Số tiền của người ấy sau $n$ kỳ hạn là $T=15{{\left( 1+\frac{1,65}{100} \right)}^{n}}$.

Theo đề bài, ta có $15{{\left( 1+\frac{1,65}{100} \right)}^{n}}>20\Leftrightarrow n>{{\log }_{1+\frac{1,65}{100}}}\frac{4}{3}\approx 17,56$

Bài tập 2. Thầy Đông gửi $5$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,7%$/tháng. Chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên thành $1,15%$/tháng. Tiếp theo, sáu tháng sau lãi suất chỉ còn $0,9%$/tháng. Thầy Đông tiếp tục gửi thêm một số tháng nữa rồi rút cả vỗn lẫn lãi được 5787710,707 đồng. Hỏi thầy Đông đã gửi tổng thời gian bao nhiêu tháng?

A. $18$ tháng.

B. $17$ tháng.

C. $16$ tháng.

D. $15$ tháng.

Hướng dẫn giải
Gọi $a$ là số tháng mà thầy Đông gởi tiền với lãi suất 0,7%.

Gọi $b$ là số tháng mà thầy Đông gởi tiền với lãi suất 0,9%.

Theo đề bài, ta có phương trình:

$5000000{\left( {1 + 0,7\% } \right)^a}.{\left( {1 + 1,15\% } \right)^6}.{\left( {1 + 0,9\% } \right)^b} = 5787710,707\left( * \right)$

$ \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,7\% } \right)^a}.{\left( {1 + 0,9\% } \right)^b} = 1,080790424$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < {\log _{1,007}}1,080790424\\ 0 < b < {\log _{1,009}}1,080790424\\ a,b \in N \end{array} \right.$

$\Rightarrow {{\log }_{1,009}}1,080790424<a+b<{{\log }_{1,007}}1,080790424$$\Rightarrow 9\le a+b\le 11$

Với $a+b=9$, thử $a,b\in N$ ta thấy (*) không thoả mãn.

Với $a+b=10$, thử $a,b\in N$ta được $a=6;b=4$ thoả mãn $\left( * \right)$.

Với $a+b=11$, thử $a,b\in N$ ta thấy (*) không thoả mãn.

Vậy thầy Đông gởi tổng thời gian là $16$ tháng.

Chọn đáp án C.

Bài tập 3. Một người gởi vào ngân hàng $9,8$ triệu đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất $8,4%$ một năm. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $20$triệu đồng, biết rằng trong suốt quá trình gởi lãi suất không thay đổi.

A. 8 năm .

B. 9 năm.

C. 12 năm .

D. 13 năm.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Gọi $n$ là số tháng cần tìm.

Theo công thức lãi kép, ta có: ${20.10^6} = 9,{8.10^6}{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n}$ $ \Leftrightarrow {\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} = \frac{{100}}{{49}} \Leftrightarrow n \approx 8,84$

Bài tập 4. Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền $M$ vào ngân hàng và dùng số tiền thu được (cả lãi và tiền gốc) để trao $10$ suất học bổng hằng tháng cho học sinh nghèo ở TP. Cần Thơ, mỗi suất $1$ triệu đồng. Biết lãi suất ngân hàng là $1%$$/th\acute{a}ng$, và Trung tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau một tháng gửi tiền. Để đủ tiền trao học bổng cho học sinh trong $10$ tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền $M$ ít nhất là:

A. $108500000$ đồng.

B. $119100000$ đồng.

C. $94800000$ đồng.

D. $120000000$ đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Gọi $M$ (triệu). Lãi suất là $a$

Số tiền sau tháng thứ nhất và đã phát học bổng là $M\left( 1+a \right)-10$

Số tiền sau tháng thứ hai và đã phát học bổng là

$\left( M\left( 1+a \right)-10 \right)\left( 1+a \right)-10=M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-10\left( 1+a \right)-10$

Số tiền sau tháng thứ ba và đã phát học bổng là

$\left( M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-10\left( 1+a \right)-10 \right)\left( 1+a \right)-10=M{{\left( 1+a \right)}^{3}}-10\left[ {{\left( 1+a \right)}^{2}}+\left( 1+a \right)+1 \right]$

……………………………………….

Số tiền sau tháng thứ $10$ và đã phát học bổng là

$M{{\left( 1+a \right)}^{10}}-10\left[ {{\left( 1+a \right)}^{9}}+…..+\left( 1+a \right)+1 \right]=M{{\left( 1+a \right)}^{10}}-10.\frac{{{\left( 1+a \right)}^{10}}-1}{a}$

Theo yêu cầu đề bài

$M{{\left( 1+a \right)}^{10}}-10.\frac{{{\left( 1+a \right)}^{10}}-1}{a}=0\Leftrightarrow M=\frac{10\left[ {{\left( 1+a \right)}^{10}}-1 \right]}{a{{\left( 1+a \right)}^{10}}}$

Thay $a=1%$ . Ta tìm được $M=94713045\approx 94800000$.

Bài tập 5. Cường độ của một trận động đất được đo bằng độ Richter. Độ Richter được tính bằng công thức $M=\log A-\log {{A}_{0}}$, trong đó $A$ là biên độ rung tối đa đo được bằng địa chấn kế và là biên độ chuẩn (hằng số). Vào ngày $3-12-2016$, một trận động đất cường độ $2,4$ độ Richter xảy ra ở khu vực huyện Bắc Trà My, tỉnh Quảng Nam; còn ngày $16-10-2016$ xảy ra một trận động đất cường độ $3,1$ độ Richter ở khu vực huyện Phước Sơn, tỉnh Quảng Nam. Biết rằng biên độ chuẩn được dùng chung cho cả tỉnh Quảng Nam, hỏi biên độ tối đa của trận động đất Phước Sơn ngày $16-10$ gấp khoảng mấy lần biên độ tối đa của trận động đất Bắc Trà My ngày $3-12?$

A. $7$ lần.

B. $5$ lần.

C. $4$ lần.

D. $3$ lần.

Hướng dẫn giải
Gọi ${{A}_{1}}$ là biên độ rung tối đa ở Phước Sơn.

Gọi ${{A}_{2}}$ là biên độ rung tối đa ở Trà My.

${{M}_{1}}=\log {{A}_{1}}-\log {{A}_{0}}=3,1\left( 1 \right)$.

${{M}_{2}}=\log {{A}_{2}}-\log {{A}_{0}}=2,4\left( 2 \right)$.

Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$: $\log {{A}_{1}}-\log {{A}_{2}}=0,7\Leftrightarrow \log \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=0,7\Leftrightarrow \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}={{10}^{0,7}}$

Vậy đáp án B.

Bài tập 6. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left( t \right)=s\left( 0 \right){{.2}^{t}}$, trong đó $s\left( 0 \right)$ là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút.

B. 19 phút.

C. 7 phút.

D. 12 phút.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có: $s\left( 3 \right)=s\left( 0 \right){{.2}^{3}}$$\Rightarrow s\left( 0 \right)=\frac{s\left( 3 \right)}{{{2}^{3}}}=78125$. $s\left( t \right)=s\left( 0 \right){{.2}^{t}}$$\Rightarrow {{2}^{t}}=\frac{s\left( t \right)}{s\left( 0 \right)}=128\Rightarrow t=7$

Bài tập 7. Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô đầu tiên (từ ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là

A. 18.

B. 19.

C. 20.

D. 21.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Bài toán dùng tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.

Ta có: ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}=1+1.2+{{1.2}^{2}}+…+{{1.2}^{n-1}}=1.\frac{{{2}^{n}}-1}{2-1}={{2}^{n}}-1$ .

${{S}_{n}}={{2}^{n}}-1>{{10}^{6}}\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{10}^{6}}+1 \right)\cong 19.93.$ Vậy n nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài là 20.

Bài tập 8. Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm là 1,2% và tỉ lệ này ổn định trong 10 năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người?

A. 106,3 triệu người.

B. 104,3 triệu người.

C. 105,3 triệu người.

D. 103,3 triệu người.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng $A.{{e}^{r.t}}=91,7.{{e}^{1,2.10}}=103,39.$

Bài tập 9. Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm $4%$ diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

A. $7\times {{\log }_{3}}25$.

B. ${{3}^{\frac{25}{7}}}$.

C. $7\times \frac{24}{3}$.

D. $7\times {{\log }_{3}}24$.

Hướng dẫn giải
Đáp án: A.

Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm $0,04$diện tích mặt hồ.

Sau 7 ngày số lượng bèo là $0,04\times {{3}^{1}}$ diện tích mặt hồ.

Sau 14 ngày số lượng bèo là $0,04\times {{3}^{2}}$ diện tích mặt hồ.

Sau $7\times n$ ngày số lượng bèo là $0,04\times {{3}^{n}}$ diện tích mặt hồ.

Để bèo phủ kín mặt hồ thì $0,04\times {{3}^{n}}=1\Leftrightarrow {{3}^{n}}=25\Leftrightarrow n={{\log }_{3}}25$.

Vậy sau $7\times {{\log }_{3}}25$ ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ.

Bài tập 10. Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi.

A. $12-\log 5$ (giờ).

B. $\frac{12}{5}$ (giờ).

C. $12-\log 2$ (giờ).

D. $12+\ln 5$ (giờ).

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta gọi ${{u}_{i}}$ là số lá bèo ở giờ thứ $i.$

Ta có ${{u}_{0}}=1={{10}^{0}},{{u}_{1}}=10,{{u}_{2}}={{10}^{2}},…..,{{u}_{12}}={{10}^{12}}.$

Ta có số lá bèo để phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt hồ là $\frac{1}{5}{{.10}^{12}}$ $\Rightarrow $ thời gian mà số lá bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt hồ là

$12-\log 5.$

Bài tập 11. Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so với đầu năm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau $n$ năm, đơn vị tiền tệ sẽ mất đi ít nhất 90% giá trị của nó?

A. 16

B. 18.

C. 20.

D. 22.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Gọi $x\ \left( x>0 \right)$ là giá trị tiền tệ lúc ban đầu. Theo đề bài thì sau 1 năm, giá trị tiền tệ sẽ còn $0,9x$.

Cuối năm 1 còn $0,9x$

Cuối năm 2 còn $0,9.0,9x=0,{{9}^{2}}x$

Cuối năm $n$ còn $0,{{9}^{n}}x$

Ycbt $\Leftrightarrow 0,{{9}^{n}}x=0,1x\Rightarrow n\approx 21,58$. Vì $n$ nguyên dương nên $n=22$.

Bài tập 12. Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S=A{{e}^{ni}}$ trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc, $S$ là dân số sau $n$ năm, $i$ là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Theo thống kê dân số thế giới tính đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam có 94,970,597 người và có tỉ lệ tăng dân số là 1,03%. Nếu tỷ lệ tăng dân số không đổi thì đến năm 2020 dân số nước ta có bao nhiêu triệu người, chọn đáp án gần nhất.

A. $98$ triệu người.

B. $100$ triệu người.

C. $102$ triệu người.

D. $104$ triệu người.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Áp dụng công thức với $A=94,970,597$, $n=3$, $i=1,03%$ ta được $S\approx 98$ triệu người.

Bài tập 13. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất $6,5%$ năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi khoảng bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

A. $11$ năm.

B. $9$ năm.

C. $8$ năm.

D. $12$ năm.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Gọi là $x$ số tiền gởi ban đầu.

Giả sử sau $n$ năm số tiền vốn và lãi là $2x$.

Ta có $2x\approx x.{{\left( 1,065 \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{\left( 1,065 \right)}^{n}}\approx 2\Leftrightarrow n\approx {{\log }_{2}}1,065\Leftrightarrow n\approx 11.$

Bài tập 14. Một người gửi ngân hàng $100$ triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất $r=0,5{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$ một tháng (kể từ tháng thứ $2$ , tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn $125$ triệu .

A. $45$ tháng.

B. $47$ tháng.

C. $44$ tháng.

D. $46$ tháng .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Áp dụng công thức lãi kép gửi 1 lần: $N=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$, Với $A={{100.10}^{6}}$ và $r=0,5{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$.

Theo đề bài ta tìm n bé nhất sao cho: ${10^8}{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} > {125.10^6}$

$ \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} > \frac{5}{4}$ $\Leftrightarrow n>{{\log }_{\frac{201}{200}}}\frac{5}{4}\approx 44,74$.

Trên đây là bài viết chia sẻ cách giải bài toán lãi suất ngân hàng, mong rằng nó hữu ích với bạn trong quá trình học tập cũng như vận dụng vào thực tế. Nếu thấy hay hãy chia sẻ bài viết tới mọi người. Chúc bạn học tốt