Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một chủ đề thuộc giải tích toán 12 quan trọng. Không chỉ với những bạn mới học, ngay những bạn được qua cũng có cảm giác chủ đề này khó, gây ra một số khó khăn nhất định. Không quá lo lắng bởi bài viết này sẽ giúp bạn vượt qua những khó khăn đó. Chúng ta cùng vào bài học nào

1. Định nghĩa

Một hàm số y = f(x) cho trước, có tập xác định là D. Khi đó:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán tổng quát

  • B1: Tính đạo hàm của hàm số f′(x). Trên tập xác định D, tìm các giá trị x1,x2,…,xn để f′(x) = 0 hoặc hàm số y = f(x) đó không tồn tại đạo hàm
  • B2: Lập bảng biến thiên
  • B3: Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = f(x).

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Giả sử trên đoạn [a; b], hàm số y = f(x) xác định và liên tục

B1: Tìm các điểm x1,x2,…,xn trên khoảng (a;b), tại đó f′(x) = 0 hoặc f′(x) không xác định.

B2: Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b).

B3: Khi đó:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

Giả sử trên khoảng (a; b), hàm số y = f(x) xác định và liên tục

B1: Lấy đạo hàm f′(x).

B2: Tìm các điểm x1,x2,…,xn trên khoảng (a;b) của phương trình f′(x) = 0 hoặc Tìm các điểm x1,x2,…,xn trên khoảng trên khoảng (a;b) làm cho f′(x) không xác định.

B3. Tính $A = \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f(x)$, $B = \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f(x)$, $f({{x}_{i}})$, $f({{\alpha }_{i}})$.

B4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M = \underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\, f(x)$, $m = \underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\, f(x)$.

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:

  • Nếu y = f(x) đồng biến trên [a;b] thì $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \end{array} \right.$.
  • Nếu y = f(x) nghịch biến trên [a;b] thì $\left[ a;b \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( b \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( a \right) \end{array} \right..$
  • Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

3. Bài tập

Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-x+1}$ trên tập xác định $\mathbb{R}$

A. $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{3}$

B. $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=1$

C. $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=3$

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Lời giải

Từ đó suy ra $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 1 \right)$

Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{6}}+\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+1$ trên $\mathbb{R}$

A. Hàm số không có giá trị lớn nhất

C. $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\frac{47}{30}$

B. $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\frac{17}{30}$

D. $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\frac{67}{30}$

Lời giải

Ta có: ${{y}^{‘}}=-2{{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-x+1=-\left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{4}}+1 \right)$

Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty ;1]$ và nghịch biến trên \[\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )\].

Vì vậy, $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 1 \right)$

Bài tập 3. (Câu 6 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}$ trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$.

A. $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=6$

C. $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-3$

B. $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2$

D. $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{19}{3}$

Lời giải

Phân tích: Có thể thấy, ở câu hỏi này, các đáp án A, B, C, D không cho ta một gợi ý nào trong việc định hướng tìm cách giải quyết yêu cầu đặt ra. Vì thế, chúng chỉ có thể đóng vai trò là các dữ liệu đối chiếu. Do đó, cách duy nhất để trả lời câu hỏi đặt ra là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$, rồi đối chiếu với các đáp án A, B, C, D để tìm ra đáp án đúng.

Hướng dẫn giải: Sử dụng quy tắc đã được học, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$. Đáp án A là đáp án đúng.

Nhận xét: câu hỏi ở Ví dụ này là câu hỏi nhằm kiểm tra khả năng áp dụng “thô” một quy tắc đã được học vào việc giải các bài tập đơn giản. Vì thế, câu hỏi đã ra là một câu hỏi ở cấp độ “thông hiểu”.

Bài tập 4. Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125cm và cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ?

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 1,9063 tỷ đồng.

B. 2,3965 tỷ đồng.

C. 2,0963 tỷ đồng.

D. 3 tỷ đồng.

Lời giải

Để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn A, B sao cho đoạn thẳng AB là bé nhất.

⇒Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm A, B và tìm giá trị nhỏ nhất.

Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ $M\left( \frac{1}{8};1 \right)$.

Gọi $B\left( m;0 \right),A\left( 0;n \right)\,\,\left( m,n>0 \right)$. Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là: $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$

Do đường thẳng đi qua $M\left( \frac{1}{8};1 \right)$ nên $\frac{1}{8m}+\frac{1}{n}=1\Rightarrow \frac{1}{n}=1-\frac{1}{8m}=\frac{8m-1}{8m}\Rightarrow n=\frac{8m}{8m-1}$

Có $A{{B}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{m}^{2}}+{{\left( \frac{8m}{8m-1} \right)}^{2}}$

Xét hàm số

$f\left( m \right)={{m}^{2}}+{{\left( \frac{8m}{8m-1} \right)}^{2}};f’\left( m \right)=2m+2.\frac{8m}{8m-1}.\frac{-8}{{{\left( 8m-1 \right)}^{2}}}=2m.\left( 1-\frac{64}{{{\left( 8m-1 \right)}^{3}}} \right)$

$f’\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\left( L \right)\\ 1 – \frac{{64}}{{{{\left( {8m – 1} \right)}^3}}} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {8m – 1} \right)^3} = 64 \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}$

$f\left( m \right)\ge f\left( \frac{5}{8} \right)={{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{8.\frac{5}{8}}{8.\frac{5}{8}-1} \right)}^{2}}=\frac{25}{64}+\frac{25}{16}=\frac{125}{64}\Rightarrow AB\ge \sqrt{\frac{125}{64}}=\frac{5\sqrt{5}}{8}$

Vậy quãng đường ngắn nhất là $\frac{5\sqrt{5}}{8}$ (km).

Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng=1,5 tỉ đồng.

Khi đó chi phí để hoàn thành con đường là: $\frac{5\sqrt{5}}{8}.1,5\approx 2,0963$ (tỷ đồng)

Đáp án C

Bài tập 5. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị cho bởi hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Trên $\left( -1;\frac{3}{2} \right)$ , hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến.

B. Một điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $\left( \frac{3}{2};-2 \right).$

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $-2.$

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $1.$

Lời giải

Khẳng định D sai điểm $\left( -1;1 \right)$ không phải là điểm cao nhất của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ xét trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right).$

$\Rightarrow $Chọn đáp án D.

Bài tập 6. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}+3x+6$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right).$ B. $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right).$ C. $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right).$ D. $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right).$

Lời giải

Do ${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}+3x+6>0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;2 \right].$ Vậy suy ra: $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$ và $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right).$

$\Rightarrow $Chọn đáp án C.

Bài tập 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y={{\sin }^{2}}x-2\sin x.$

A. $2.$

B. $-1.$

C. $3.$

D. $4.$

Lời giải

Đặt $t=\sin x;\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$. Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}-2t;\text{ }t\in \left[ -1;1 \right]$.

Ta có ${g}’\left( t \right)=2t-2=0\Leftrightarrow t=1\in \left( -1;1 \right);\text{ }g\left( -1 \right)=3;\text{ }g\left( 1 \right)=-1.$ Vậy $\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( t \right)=f\left( -1 \right)=3.$

$\Rightarrow $Chọn đáp án C.

Bài tập 8. Chủ nhà hàng Vỹ Dạ Xưa dự định thiết kế một sân khấu có hình dạng là một tam giác vuông với tổng độ dài một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng 10 mét. Biết chi phí thuê nhân công thực hiện công việc là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Số tiền ông phải trả cho bên thi công là bao nhiêu để diện tích sân khấu là lớn nhất?

A. $4\,965\,450$ (đồng).

B. $4\,811\,252$ (đồng).

C. $5\,100\,540$ (đồng).

D. $6\,532\,453$ (đồng).

Lời giải

Kí hiệu cạnh góc vuông $AB$ là $x,\text{ }x\in \left( 0;\frac{a}{2} \right),$ với $a=10$ mét. Khi đó, cạnh huyền $BC=a-x,$ cạnh góc vuông kia là

$AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-x \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}.$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S\left( x \right)=\frac{1}{2}x\sqrt{{{a}^{2}}-2ax},\text{ }x\in \left( 0;\frac{a}{2} \right).$ Ta có: $S’\left( x \right)=\frac{a\left( a-3x \right)}{2\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}}=0\Leftrightarrow x=\frac{a}{3}.$

Bảng biến thiên:

Từ BBT, suy ra $\underset{\left( 0;\frac{a}{2} \right)}{\mathop{\max }}\,S\left( x \right)=\frac{{{a}^{2}}}{6\sqrt{3}}\approx 9,62\text{ }\left( {{m}^{2}} \right)$ khi $AB=\frac{a}{3},\text{ }BC=\frac{2a}{3}.$ Vậy số tiền ông phải bỏ ra là $\underset{\left( 0;\frac{a}{2} \right)}{\mathop{\max }}\,S\left( x \right).500\,000\approx 4\,811\,252$ đồng.

$\Rightarrow $ Chọn đáp án B.

Bài tập 9. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. $x=\frac{3\sqrt{34}-17\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$

B. $x=\frac{3\sqrt{34}-19\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$

C. $x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$

D. $x=\frac{5\sqrt{34}-13\sqrt{2}}{2}\,\left( cm \right)$

Lời giải

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là $S={{S}_{MNPQ}}+4xy$

Cạnh hình vuông $MN=\frac{MP}{\sqrt{2}}=\frac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\left( cm \right)$

$\Rightarrow S={{\left( 20\sqrt{2} \right)}^{2}}+4xy=800+4xy$ (1)

Ta có $2x=AB-MN=AB-20\sqrt{2}<BD-20\sqrt{2}=40-20\sqrt{2}$$\Rightarrow 0<x<20-10\sqrt{2}$

Lại có $A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}={{40}^{2}}\Rightarrow {{\left( 2x+20\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1600$

$\Rightarrow {{y}^{2}}=800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}\Rightarrow y=\sqrt{800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}}$

Thế vào $\left( 1 \right)\Rightarrow S=800+4x\sqrt{800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}}$ $ = 800 + 4\sqrt {800{x^2} – 80{x^3}\sqrt 2 – 4{x^4}} $

Xét hàm số $f\left( x \right)=800{{x}^{2}}-80{{x}^{3}}\sqrt{2}-4{{x}^{4}}$, với $x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right)$ có

$f’\left( x \right)=1600x-240{{x}^{2}}\sqrt{2}-16{{x}^{3}}=16x\left( 100-15x\sqrt{2}-{{x}^{2}} \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;20 – 10\sqrt 2 } \right)\\ f’\left( x \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;20 – 10\sqrt 2 } \right)\\ 16{\rm{x}}\left( {100 – 15{\rm{x}}\sqrt 2 – {x^2}} \right) = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{5\sqrt {34} – 15\sqrt 2 }}{2}$

Khi đó $x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}$ chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn C.

Như vậy qua bài viết này thì mình đã vừa hướng dẫn cho các bạn cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Mong rằng nó giúp ích được bạn trong quá trình ôn luyện.