Tìm cực trị hàm số bậc ba

Học tốt dạng tìm cực trị hàm số bậc ba là điều cần thiết bởi nó không chỉ giúp bạn giải nhiều dạng toán hàm số lớp 12 mà còn tạo cảm hứng cho các chủ đề tiếp theo. Ngày trong bài viết này, mình không chỉ giúp bạn hiểu hàm số bậc ba là gì, còn hướng dẫn bạn cẩn thận cách tìm cực trị của nó, những dạng toán có thể xuất hiện trong đề thi bạn cần nhớ.

1. Hàm số bậc 3 là gì?

Hàm số bậc 3 là hàm có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d.

Trong đó: a, b, c là các hằng số

2. Tìm cực trị hàm số bậc ba

2.1 Điều kiện để có CĐ và CT

Bài toán: Một hàm số bậc ba có dạng tổng quát y= f(x;m) = ax3 + bx2 + cx + d.

Hỏi với giá trị nào của m để hàm số y có CĐ và CT tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Lời giải

B1:

  • Tập xác định: D = R.
  • Đạo hàm: y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C

B2: Nếu phương trình đạo hàm y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm này thì hàm số có cực trị. Nghĩa là  $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3a \ne 0\\ {\Delta _{y’}} = {B^2} – 4AC = 4{b^2} – 12ac > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ {b^2} – 3ac > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m \in {D_1}.$

B3: Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = – \frac{B}{A} = – \frac{{2b}}{{3a}}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} = \frac{c}{{3a}} \end{array} \right..$

B4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được m ∈ D2.

B5: ết luận các giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2.

Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0). Ta có: y′ = 3ax2 + 2bx + c.

Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

Hàm số có 2 cực trị trái dấu ⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ A.C = 3ac<0 ⇔ ac<0.

Hàm số có hai cực trị cùng dấu ⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y’}} > 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0 \end{array} \right.$

Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương ⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y’}} > 0\\ S = {x_1} + {x_2} = – \frac{B}{A} > 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0 \end{array} \right.$

Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm ⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y’}} > 0\\ S = {x_1} + {x_2} = – \frac{B}{A} < 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0 \end{array} \right.$

Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left\langle \begin{array}{l} {x_1} < \alpha < {x_2}\\ {x_1} < {x_2} < \alpha \\ \alpha < {x_1} < {x_2} \end{array} \right.$

Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-\alpha \right)\left( {{x}_{2}}-\alpha \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-\alpha \left( {{x}_{1}} + {{x}_{2}} \right) + {{\alpha }^{2}}<0$

Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\alpha $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x_1} – \alpha } \right)\left( {{x_2} – \alpha } \right) > 0\\ {x_1} + {x_2} < 2\alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}.{x_2} – \alpha \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\alpha ^2} > 0\\ {x_1} + {x_2} < 2\alpha \end{array} \right.$

Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x_1} – \alpha } \right)\left( {{x_2} – \alpha } \right) > 0\\ {x_1} + {x_2} > 2\alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}.{x_2} – \alpha \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\alpha ^2} > 0\\ {x_1} + {x_2} > 2\alpha \end{array} \right.$

 Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng: khi có 1 nghiệm là$x = \frac{-b}{3a}$, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là $x = -\sqrt[3]{\frac{d}{a}}$ .

2.2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng

Cho 2 điểm A(xA;yA), B(xB;yB) và đường thẳng Δ:ax + by + c = 0.

  • Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + c)<0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường thẳng Δ.
  • Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + c)>0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng Δ.

Một số trường hợp đặc biệt:

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy: $\Leftrightarrow $hàm số có 2 cực trị cùng dấu $\Leftrightarrow $phương trình ${y}’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy: $\Leftrightarrow $ hàm số có 2 cực trị trái dấu $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’ = 0$ có hai nghiệm trái dấu

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox: $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt và ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}>0$

Đặc biệt:

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox: $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt và $\left\{ \begin{array}{l} {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\\ {y_{CD}} + {y_{CT}} > 0 \end{array} \right.$

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox: $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt và $\left\{ \begin{array}{l} {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\\ {y_{CD}} + {y_{CT}} < 0 \end{array} \right.$

Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox: $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt và ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}<0$

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox:

$\Leftrightarrow $đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

$\Leftrightarrow $phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

2.3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

${g\left( x \right) = \left( {\frac{{2c}}{3} – \frac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + d – \frac{{bc}}{{9a}}}$ hoặc ${g\left( x \right) = y – \frac{{y’.y”}}{{18a}}.}$ hoặc ${g\left( x \right) = y – \frac{{y’.y”}}{{3y”’}}}$

2.4 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

$AB = \sqrt{\frac{4e + 16{{e}^{3}}}{a}}$ với $e = \frac{{{b}^{2}}-3ac}{9a}$

Qua bài viết ngắn đã hướng dẫn bạn cách tìm cực trị hàm số bậc ba sao cho hiệu quả. Nếu có bất cứ thắc nào nào cần giải đáp, bạn hãy để lại lời nhắn trong phần bình luận bên dưới nhé.