Tìm cực trị của hàm số

Dù hiện nay có nhiều bài viết chia sẻ về tìm cực trị của hàm số, nhưng nó chưa đầy đủ, chất lượng bài viết chưa được cao. Với mong muốn sĩ tử làm tốt dạng toán này nên mình đã biên soạn bài này với đầy đủ lý thuyết: định nghĩ, quy tắc, điều kiện, … Mời bạn cùng theo dõi.

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x$_0$ ∈ K. Ta nói:

  • x$_0$ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x$_0$ sao cho (a; b) ⊂ Kvà f(x) > f(x$_0$),∀x ∈ (a; b)∖{x$_0$}. Khi đó f(x$_0$) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf.
  • x$_0$ là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x$_0$ sao cho (a; b) ⊂ Kvà f(x) < f(x$_0$),∀x ∈ (a; b)∖{x$_0$}. Khi đó f(x$_0$) được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf.
  • Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
  • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
  • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
  • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
  • Nếu x$_0$ là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x$_0$;f(x$_0$)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Nhận xét:

  • Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x$_0$)nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f(x$_0$) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a; b) nào đó chứa x$_0$hay nói cách khác khi x$_0$ điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a; b) chứa x$_0$ sao cho f(x$_0$)là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b).
  • Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K
  • Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số y = f(x)đạt cực trị tại điểm x$_0$. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại điểm x$_0$ thì f′(x$_0$) = 0.

Chú ý:

  • Đạo hàm f′(x) có thể bằng 0 tại điểm x$_0$ nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x$_0$.
  • Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
  • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

  • Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x$_0$. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x$_0$ thì f′(x$_0$) = 0.
  • Nếu f′(x) > 0 trên khoảng (x$_0$−h; x$_0$) và f′(x) < 0 trên khoảng (x$_0$; x$_0$+h) thì x$_0$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).
  • Nếu f′(x) < 0 trên khoảng (x$_0$−h; x$_0$) và f′(x) > 0 trên khoảng (x$_0$; x$_0$+h) thì x$_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

  • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f′(x).
  • Bước 2: Tìm các điểm x$_i$ (i = 1;2;…) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
  • Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f′(x). Nếu f′(x) đổi dấu khi đi qua x$_i$ thì hàm số đạt cực trị tại x$_i$.

Định lí 3:

Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x$_0$−h; x$_0$+h) với h > 0. Khi đó:

  • Nếu f′(x$_0$) = 0,f”(x$_0$) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x$_0$.
  • Nếu f′(x$_0$) = 0,f”(x$_0$) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x$_0$.

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f′(x).

Bước 2: Tìm các nghiệm x$_i$ (i = 1;2;…) của phương trình f′(x) = 0.

Bước 3: Tính f”(x) và tính f”(x$_i$).

  • Nếu f”(x$_i$) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x$_i$.
  • Nếu f”(x$_i$) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x$_i$.

Trên đây là bài viết chia sẻ tìm cực trị của hàm số đầy đủ và chính xác nhất tới thời điểm hiện tại. Mong rằng, bài viết này sẽ là tài liệu “bỏ túi” khi bạn gặp những dạng toàn về cực trị. Hãy rủ những người bạn của mình xem cùng nha.