Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bạn đang gặp khó khăn khi học dạng toán Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và bạn muốn một tài liệu hệ thống đầy đủ những lí thuyết quan trọng, những bài tập từ căn bản tới nâng cao. Vậy thì bài viết này được viết ra dành cho bạn. Ta bắt đầu học ngay nào.

1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Dạng toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Giả sử có một điểm M(x$_0$; f(x$_0$)) thuộc đồ thị hàm số y = f(x). Hãy viết tiếp tuyến của đồ thị này tại điểm M

Hướng dẫn

  • B1: Ta lấy đạo hàm của hàm số y′ = f′(x) (1),
  • B2: Thế hoành độ x0 vào biểu thức (1)
  • B3: Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có dạng tổng quát y = f′(x$_0$)(x – x$_0$) + f(x$_0$)

Dạng toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Giả sử có điểm M(x$_M$; y$_M$) thuộc đồ thị hàm số y = f(x). Hãy viết tiếp tuyến của đồ thị này đi qua điểm M

Hướng dẫn

  • B1: Tính đạo hàm của hàm số y′ = f′(x).
  • B2: Theo dạng toán 1, ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm x$_0$ là: y = f′(x$_0$)(x – x$_0$) + f(x$_0$) (2)
  • B3: Lúc này, ta tiến hành thay tung độ và hoành độ của điểm M vào (2): yM = f′(x0)(xM – x0) + f(x0) (3)
  • B4: Từ phương trình (3), ta suy ra được x0.
  • B5: thay ngược những giá trị x0 mà ta tìm được ở (3) vào (2) thì ta tìm được toàn bộ phương trình tiếp tuyến.

Dạng toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.

Một phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc k đã biết. Hãy viết phương trình tiếp tuyến này

  • B1: Lấy đạo hàm của hàm số (C): y′ = f′(x).
  • B2: Cho y’ = k (3)
  • B3: Giải (3) ta được các nghiệm x$_1$, x$_2$,….
  • B3: Dựa vào các nghiệm x$_1$, x$_2$,…. => y$_1$, y$_2$,….
  • B4: Dựa vào dạng toán 2, ta có thể viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm (x$_1$; f(x$_1$)),(x$_2$; f(x$_2$)),…

Dạng toán 4: Biết hệ số góc lớn nhất và nhỏ nhất. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Để làm được dạng toán này, ta làm theo các bước như sau:

  • B1: Tính đạo hàm của hàm số y′ = f′(x).
  • B2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của f′(x) => k (hệ số góc tiếp tuyến) và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà f′(x) đạt GTNN, GTLN).
  • B3: Dựa vào dạng toán 2, ta có thể viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm.

a) Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

b) Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 ).

  • hệ số góc có giá trị nhỏ nhất khi a > 0
  • hệ số góc có giá trị lớn nhất khi a < 0

Dạng toán 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước.

Gọi Δ là đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x)

B1: Lấy đạo hàm của hàm số y′ = f′(x).

B2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa Δ có hệ số góc k = f′(x) với đường thẳng d có hệ số góc k′.

  • Δ ⊥ d ⇔ k.k′ = – 1.
  • Δ // d ⇔ k = k′.
  • Góc tạo bởi Δ của (C) với d bằng \(\alpha  \Leftrightarrow \tan \alpha  = \left| {\frac{{{k} {k’}}}{{1 {k}{k’}}}} \right|\)

B3: Tiến hành tìm các nghiệm x$_1$, x$_2$,… từ phương trình trên và suy ra tọa độ các tiếp điểm.

B4: Viết các phương trình Δ tại các tiếp điểm vừa tìm được.

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó.

Cho hàm số có dạng y = f(x; m) có đồ thị là (C). Hãy tìm giá trị tham số m để tiếp tuyến Δ đi qua điểm M(xM; yM) ∈ (C) cho trước

  • B1: Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm có hoành độ x$_0$ thuộc (C): y = f′(x$_0$)(x – x$_0$) + f(x$_0$)
  • B2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài: Tiếp tuyến đi qua điểm M(x$_M$; y$_M$) ⇔ pt y$_M$ = f′(x$_0$)(x$_M$ – x$_0$) + f(x$_0$) có nghiệm.
  • B3: Tìm điều kiện của m dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.

2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số

Cho (C): y = f(x) và (C′): y = g(x).

Dạng 1: Xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số.

B1: Tính f′(x),g′(x).

B2: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).

B3: Kết luận:

  • Nếu hệ có nghiệm thì (C) và (C′) tiếp xúc.
  • Nếu hệ vô nghiệm thì (C) và (C′) không tiếp xúc.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau.

  • B1: Tính f′(x),g′(x).
  • B2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc: (C) và (C′) tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
  • B3: Tìm m từ điều kiện trên và kết luận.

3. Bài tập

Bài tập 1. Cho $\left( {{C}_{m}} \right):y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{m{{x}^{2}}}{2}+1$. Gọi $A$ là điểm trên $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hoành độ là $-1$. Tìm $m$ để tiếp tuyến với $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại $A$ song song với đường thẳng $d:y=5x+2016$.

A. $m=\,4.$

B. $m=-5.$

C. $m=-\,4.$

D. $m=-\,1.$

Lời giải

Chọn A.

Ta có ${y}’={{x}^{2}}-mx$.

$y\left( -1 \right)=\frac{2}{3}-\frac{m}{2}$;${y}’\left( -1 \right)=1+m$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=-1$ là

$\begin{array}{l} y = y’\left( { – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + y\left( { – 1} \right)\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + m} \right)\left( {x + 1} \right) + \frac{2}{3} – \frac{m}{2}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + m} \right)x + \frac{5}{3} + \frac{m}{2} \end{array}$a

Để tiếp tuyến với $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại $A$ song song với đường thẳng $d:y=5x+2016$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l} 1 + m = 5\\ \frac{5}{3} + \frac{m}{2} \ne 2016 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 4\\ m \ne \frac{{12086}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow m = 4$

Bài tập 2. Cho $\left( C \right):y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x$. Phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với trục hoành là

A. $y=0$.

B. $y=-3x$.

C. $y=3x$.

D. $y=0,y=3x$.

Lời giải

Chọn D

Ta có ${y}’={{x}^{2}}-4x+3$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ với trục hoành

$\frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0,\,\,y’\left( 0 \right) = 3\\ x = 3 \Rightarrow y = 0,\,\,y’\left( 3 \right) = 0 \end{array} \right.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $\left( 0;\ 0 \right)$ là $y=3x$.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $\left( 3;\ 0 \right)$ là $y=0$.

Bài tập 3. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-5$. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. $\Delta $ song song với đường thẳng $d:x=1$.

B. $\Delta $ song song với trục tung.

C. $\Delta $ song song với trục hoành.

D. $\Delta $ có hệ số góc dương.

Lời giải

Chọn C.

Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$.

Đạo hàm: ${y}’={{x}^{2}}-4x+3$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.$.

Lập bảng biến thiên ta được điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $M\left( 3;-5 \right)$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ là $y=-5$.

Bài tập 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$, biết tiếp tuyến đó tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm $M\left( 2;4 \right)$.

A. $y=-3x+10$

B. $y=-9x+14$

C. $y=9x-14$

D. $y=3x-2$

Lời giải

Chọn C.

$f’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3;f’\left( 2 \right)={{3.2}^{2}}-3=9\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là

$y=9.\left( x-2 \right)+4$ hay $y=9x-14$

Bài tập 5. Hai tiếp tuyến tại hai điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$ cách nhau một khoảng là:

A.$1$.

B. $4$.

C.$3$.

D.$2$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: ${f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$. Do đó: $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = – 1\\ x = – 1 \Rightarrow y = 3 \end{array} \right.$.

Hai tiếp tuyến tại 2 điểm cực trị là y = −1 và y = 3. Do đó khoảng cách giữa chúng là 4.

Trên đây là những dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số được nhiều bạn yêu thích và quan tâm. Hãy lưu lại bài viết để mỗi khi cần có thể sử dụng hay tra cứu được ngay.