Sự tương giao của đồ thị

Sự tương giao của đồ thị là một dạng toán thuộc chương ứng dụng đạo hàm. Theo đó dạng toán này chắc chắn sẽ được học trong lớp 12, số lần xuất hiện trong bài kiểm tra, bài thi học kì hay bài thi tốt nghiệp THPT là chắc chắn có. Nói vậy để bạn nên học nó ngay từ đầu, qua đó giúp bạn hiểu hơn về đồ thị hàm số, đạt điểm cao hơn. Nếu bạn đang tìm hiểu thì bài viết này là dành cho bạn. Ta bắt đầu nào.

1. Sự tương giao là gì?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f(x) = g(x) (1). Khi đó:

  • Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng với số nghiệm của phương trình (1).
  • Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm.
  • Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f(x) hoặc y = g(x).
  • Điểm M(x0;y0) là giao điểm của (C1) và (C2).

2. Phân dạng bài toán sự tương tương giao của đồ thị

Dạng toán 1: Tìm hoành độ giao điểm

Cách làm

  • B1: Hai đồ thị giao nhau thì tung độ nó bằng nhau = > f(x) = g(x) (1)
  • B2: Giải (1) ⇒ x ⇒ y ⇒ M(x; y)

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Trong trường hợp mà không tìm được hết nghiệm của phương trình (1) thì ta dùng cách sau:

Cách làm

B1: Lập phương trình f(x) = g(x) (1)

B2: Khảo sát hàm số h(x) = f(x) – g(x) trên tập xác định

  • Lấy đạo hàm h′(x), và tìm nghiệm phương trình h′(x) = 0 cũng như tìm điểm h′(x) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên để xét dấu của đạo hàm h′(x)

B3: Kết luận: số giao điểm của của đồ thị y = f(x) và đồ thị y = g(x) là số giao điểm của đồ thị h(x) đường thẳng có phương trình y = 0

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

B1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b].

  • Tính f′(x), giải phương trình f′(x) = 0 tìm các nghiệm thuộc đoạn [a;b] và các điểm f′(x) không xác định.
  • Xét dấu f′(x) và lập bảng biến thiên.

B2: Nêu điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có một, hai,… nghiệm là đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn [a;b], từ đó suy ra điều kiện của g(m).

B3: Từ PT và BPT ẩn m ở trên ta suy ra điều kiện của m

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được m và x)

B1: Giải phương trình f(x) = 0

B2:

  • Tính đạo hàm y′ = 3ax2 + 2bx + c
  • Biệt thức delta: Δ‘ = b2 – 3ac

B3: Tìm ĐK để PT f(x) = 0 có nghiệm

  • Phương trình có 1 nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành:  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ‘ \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y’ = 0\).
  • Phương trình có 2 nghiệm nếu f(x1) = 0 hoặc f(x2) = 0 với x1,x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
  • Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\end{array} \right.\)

B4: Suy ra điều kiện của m

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4: y = f(x) = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được m và x)

B1: Lập pt f(x) = 0 (5.1)

B2: Đặt t = x2≥0, khi đó phương trình (5.1) chuyển thành at2 + bt + c = 0(∗).

B3: Nêu ĐK để phương trình (5.1) có nghiệm

  • Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
  • Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng \(0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P = 0\end{array} \right.\)
  • Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
  • Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu (*) có 1 nghiệm kép bằng \(0\) hoặc có 1 nghiệm bằng \(0\) và 1 nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
  • Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).

B4: Suy ra điều kiện của m

3. Bài tập

Bài tập 1: Trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy, đồ thị của hàm số y = x4−2x2+2 và đồ thị của hàm số y = −x2+4 có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0.

B. $\vec{n} = \left( 3\,;\,-3\,;\,2 \right)$.

C. 1.

D. 2.

Lời giải

Chọn D.

Số giao điểm của hai đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} {x^4} – 2{x^2} + 2 = – {x^2} + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} – {x^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 \\ x = – \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy hai đồ thị có tất cả 2 giao điểm.

Bài tập 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Tìm m để phương trình f(x) + m = 0 có nhiều nghiệm thực nhất.

A. $\left[ \begin{array}{l} m \le – 1\\ m \ge 15 \end{array} \right.$.

B. $\left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < – 15 \end{array} \right.$.

C. $\left[ \begin{array}{l} m < – 1\\ m > 15 \end{array} \right.$.

D. $\left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m \le – 15 \end{array} \right.$.

Lời giải

Chọn C.

Phương trình f(x)+m = 0 có nhiều nghiệm thực nhất khi và chỉ khi đường thẳng y = −m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại hai điểm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – m > 1\\ – m < – 15 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < – 1\\ m > 15 \end{array} \right.$

Bài tập 3 Cho hàm số y = ax3+bx2+cx+d có đồ thị trong hình bên. Hỏi phương trình ax3+bx2+cx+d+1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. Phương trình không có nghiệm.

B. Phương trình có đúng một nghiệm.

C. Phương trình có đúng hai nghiệm.

D. Phương trình có đúng ba nghiệm.

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Xét phương trình ax3+bx2+cx+d+1 = 0 ⇔ ax3+bx2+cx+d = −1.

Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ax3+bx2+cx+d có đồ thị như trên đề bài và y = −1 là đường thẳng đi qua (0;−1) song song với trục Ox. Từ đồ thị ta thấy có 3 giao điểm vậy phương trình có ba nghiệm.

Bài tập 4 Biết đường thẳng y = x+2 cắt đường cong $y = \frac{2x+1}{2x-1}$ tại hai điểm A,B. Độ dài đoạn AB bằng

A. $\frac{5\sqrt{2}}{4}$.

B. $5\sqrt{2}$.

C. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Lời giải

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm : $x + 2 = \frac{{2x + 1}}{{2x – 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + x – 3 = 0\\ x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\,\left( {t/m} \right)\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow y = 3\\ x = – \frac{3}{2}\,\,\left( {t/m} \right)\,\, \Rightarrow y = \frac{1}{2} \end{array} \right.$

$A\left( 1;\,\,3 \right),$$B\left( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)$$\Rightarrow AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Bài tập 5 Đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = −2x4+4x2+2 khi

A.−4<m<0.

B. m>4.

C. 0<m<4.

D. 0≤m≤4.

Lời giải

Chọn B.

Hàm số $y = -2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+2.$ TXĐ: $D = \mathbb{R}$, ${y}’ = -8{{x}^{3}}+8x = 8x\left( -{{x}^{2}}+1 \right)$. Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right..$

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m>4$.

Bài tập 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = 2x+1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x+m}{x-1}$.

A. $-\frac{3}{2}<m\ne -1$.

B. $m\ge -\frac{3}{2}$.

C. $-\frac{3}{2}\le m\ne -1$.

D. $m>-\frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Với $x\ne 1$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x+1$ và đồ thị hàm số $y = \frac{x+m}{x-1}$ là:

$\begin{array}{l} \frac{{x + m}}{{x – 1}} = 2x + 1 \Leftrightarrow x + m = \left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 2x – m – 1 = 0 \end{array}$

.($x\ne 1$)

Đường thẳng $y = 2x+1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x+m}{x-1}$

$\Leftrightarrow $ phương trình $2{{x}^{2}}-2x-m-1 = 0$ có nghiệm$x\ne 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ \ge 0\\ 2 – 2 – m – 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 – 2\left( { – m – 1} \right) \ge 0\\ m \ne – 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge – \frac{3}{2}\\ m \ne – 1 \end{array} \right. \Rightarrow – \frac{3}{2} \le m \ne – 1. \end{array}$

Bài tập 7 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right):y = \frac{4x}{x+1}$ và đường thẳng $\Delta :y = x+1$.

A. $\left( 0;\,1 \right)$.

B. $\left( 2;\,3 \right)$.

C. $\left( 1;\,2 \right)$.

D. $\left( 1;\,3 \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\Delta $: $\frac{4x}{x+1} = x+1$  $\left\{ \begin{array}{l} x \ne – 1\\ {x^2} – 2x + 1 = 0 \end{array} \right.$ $x = 1$

Với $x = 1\Rightarrow y = 2.$

Vậy toạ độ giao điểm là $\left( 1;\,2 \right)$.

Bài tập 8 Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ và đồ thị hàm số $y = {{x}^{2}}-2$.

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1

Lời giải

Chọn A.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số trên là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} {x^4} – 2{x^2} = {x^2} – 2 \Leftrightarrow {x^4} – 3{x^2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1\\ {x^2} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm 1\\ x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số là 4.

Bài tập 9 Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho phương trình $f\left( x \right) = m$ có ba nghiệm thực phân biệt.

A.$m\in \left[ -1;2 \right]$.

B. $m\in \left( -1;2 \right)$.

C. $m\in \left( -1;2 \right]$.

D. $m\in \left( -\infty ;2 \right]$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên đã cho, phương trình $f\left( x \right) = m$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-1<m<2$hay $m\in \left( -1;2 \right)$.

Bài tập 10 Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số $y = (x+1)(2{{x}^{2}}-mx+1)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

A. $m\in \left( -\infty ;-2\sqrt{2} \right)\cup \left( 2\sqrt{2};+\infty \right).$

B. $m\in \left( -\infty ;-2\sqrt{2} \right)\cup \left( 2\sqrt{2};+\infty \right)\backslash \left\{ -3 \right\}.$

C. $m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right).$

D. $m\in \left( -\infty ;-2\sqrt{2} \right]\cup \left[ 2\sqrt{2};+\infty \right)\backslash \left\{ -3 \right\}.$

Lời giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm là $(x+1)(2{{x}^{2}}-mx+1) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ 2{x^2} – mx + 1 = 0{\rm{ (*)}} \end{array} \right.$

Đồ thị hàm số $y = (x+1)(2{{x}^{2}}-mx+1)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

$\Leftrightarrow $ phương trình $y = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ m \ne – 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} – 8 > 0\\ m \ne – 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| m \right| > 2\sqrt 2 \\ m \ne – 3 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\,-2\sqrt{2} \right)\cup \left( 2\sqrt{2};\,+\infty \right)\backslash \left\{ -3 \right\}.$

Trên đây là toàn bộ bài viết chia sẻ cách tìm sự tương giao của đồ thị mà bạn cần nhớ. Đây là một bài viết khá công phu, nó không chỉ cung cấp cho bạn toàn bộ những lý thuyết, những dạng toán liên quan mà còn có bài tập kèm lời giải chi tiết để bạn tiện rèn luyện. Nếu bạn thấy hay hãy chia sẻ tới mọi người đang quan tâm như bạn nhé