Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số là một chủ đề quan trọng của giải tích lớp 12 nói riêng và ôn thi vào đại học nói chung. Đây là chủ đề giúp các sĩ tử kiếm điểm nếu như muốn đạt điểm cao. Vậy sự đồng biến của hàm số là gì? Sự nghịch biến của hàm số là gì? Nó có những quy tắc và chú ý gì cần nhớ khi bắt đầu học? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết thông qua bài viết dưới đây nhé.

1. Định nghĩa

Chúng ta giả sử rằng có một hàm số y = f(x) cho trước có tập xác định trên K.

  • Trên tâp K mà f(x) đồng biến (tăng) khi thỏa mãn

  • Trên tâp K mà f(x) nghịch biến (giảm) khi thỏa mãn

Trên tập K, tính nghịch biến (giảm) hay đồng biến (tăng) của hàm số y = f(x) có tên gọi là tính đơn điệu. Sau này khi nói tới tính đơn điệu của hàm số thì ta hiểu rằng nói tới tính đồng biến hay nghịch biến

Nhận xét:

  • Hàm số f(x) đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
  • Hàm số f(x) nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. Nếu f′(x)>0, ∀x ∈ (a;b)⇒ hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
  • Nếu f′(x)<0, ∀x ∈ (a;b)⇒ hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).
  • Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ (a;b)⇒ hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a;b).
  • Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)⇒f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a;b).
  • Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)⇒f′(x) ≤ 0,∀x ∈ (a;b).

Nếu thay đổi khoảng (a;b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm sốf(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

2. Quy tắc xét tìm sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trên một tập K cho trước, giả sử hàm số f(x) có đạo hàm thì

Hàm số f(x) đồng nghịch biến trên tập K khi

  • Đạo hàm của hàm số thỏa mãn f′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K
  • f′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K

Hàm số f(x) đồng biến trên tập K khi

  • Đạo hàm của hàm số thỏa mãn f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K
  • f′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K

3. Chú ý tính đơn điệu của hàm số

Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( x\ne -\frac{d}{c} \right)$ thì dấu ”=” khi xét dấu đạo hàm y′ không xảy ra.

Giả sử $y = f\left( x \right) = a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}’\left( x \right) = 3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng $l$ ta giải như sau:

  • Bước 1: Tính ${y}’ = {f}’\left( x;m \right) = a{{x}^{2}}+bx+c.$
  • Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow {y}’ = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ a \ne 0 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( * \right)$
  • Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng $l$
  • $\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| = l$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} = {{l}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P = {{l}^{2}}$ $\left( ** \right)$
  • Bước 4: Giải (∗) và giao với (∗∗) để suy ra giá trị m cần tìm.

Trên đây là bài viết giới thiệu Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Nếu như có vương mắc nào bạn hãy để lại lời nhắn bên dưới để mình phản hồi lại trong bạn thời gian sớm nhất. Hãy share nếu bài viết này hữu ích.