Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hôm nay tôi sẽ giới thiệu cho các bạn cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số và đang được rất nhiều bạn học sinh 12 cũng như sĩ tử ôn thi đại học quan tâm. Trong bài viết này sẽ được chia làm 2 phần là lý thuyết và bài tập để bổ sung kiến thức cho các bạn mới học; rèn luyện kĩ năng làm bài tập để nhớ lâu – giải nhanh khi vào phòng thi. Chúng ta vào bài học hôm nay nào.

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞),(−∞;b) hoặc (−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) = {{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) = {{y}_{0}}$

Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x) = +\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x) = -\infty ,$

$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x) = -\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x) = +\infty $

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng $y = \frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0;\text{ }ad-bc\ne 0 \right)$ luôn có tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x = -\frac{d}{c}.$

2. Bài tập

Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = 2$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = -2.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số y = f(x) có hai đường tiệm cận ngang là x = 2 và x = −2.

B. Đồ thị hàm số y = f(x) chỉ có duy nhất một đường tiệm cận ngang.

C.Đồ thị hàm số y = f(x) có hai đường tiệm cận ngang là y = 2 và y = −2.

D.Đồ thị hàm số y = f(x) không có đường tiệm cận ngang.

Lời giải

Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = 2$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = -2$ nên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đã cho có hai đường tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y = -2.$

$\Rightarrow $Chọn đáp án C.

Câu 2: Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-2}.$

A. x = 2.

B.x = −2.

C.y = 2.

D.y = −2.

Lời giải

Ta có: $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = +\infty ;\text{ }\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y = -\infty \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x = 2.$

$\Rightarrow $Chọn đáp án A.

Câu 3: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2x+7}{{{x}^{2}}-1}.$

A. 0.

B.4.

C.1.

D.3.

Lời giải

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y = 0;\text{ }\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y = 0;\text{ }\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = +\infty ;\text{ }$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = – \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = + \infty \Rightarrow $ đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 1;\text{ }x = -1$ và một đường tiệm cận ngang là $y = 0.$

$\Rightarrow $Chọn đáp án D.

Câu 4: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào không có đường tiệm cận đứng?

A. $y = \frac{{{x}^{2}}}{x-1}.$

B.$y = \frac{x+1}{x-1}.$

C.$y = \frac{x+1}{{{x}^{2}}+1}.$

D.$y = \frac{x+5}{{{x}^{2}}-1}.$

Lời giải

Hàm số $y = \frac{x+1}{{{x}^{2}}+1}$ không tồn tại ${{x}_{0}}\in \mathbb{R}$ sao cho $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y = +\infty ;\text{ }\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y = -\infty ;\text{ }\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y = +\infty ;\text{ }$ $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y = -\infty $nên đồ thị hàm số này không có đường tiệm cận đứng.

Có học sinh thấy ngay: Mẫu thức của biểu thức hàm số này là một phương trình bậc hai vô nghiệm nên suy ra kết quả bài toán.

$\Rightarrow $Chọn đáp án C.

Câu 5: Khẳng định nào sau đây sai đối với hàm số $y = \frac{x}{{{x}^{3}}+1}$?

A. Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x = −1.

B.Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x = 1.

C.Đồ thị hàm số y có tiệm cận ngang y = 0.

D.Đồ thị hàm số y vừa có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Lời giải

Do $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = \frac{1}{2};\text{ }\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y = \frac{1}{2}$ nên $x = 1$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\Rightarrow $ Chọn đáp án B.

Lời giải

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+4}}{x-1}$có 3 đường tiệm cận.

A. [0;+∞).

B.(−∞;0).

C.(0;+∞).

D.(−∞;0].

Lời giải

+) Xét $m = 0:y = \frac{2}{x-1}$ nên đồ thị có đường tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 0$ (không thỏa).

+) Xét $m<0:$Do điều kiện xác định của hàm số là $\left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4 \ge 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left[ { – \sqrt {\frac{2}{{ – m}}} ;\sqrt {\frac{2}{{ – m}}} } \right]\\ x \ne 1 \end{array} \right.$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Lúc đó đồ thị chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng $x = 1$ (không thỏa).

+) Xét $m>0:$ Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+4}}{x-1} = \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m+\frac{4}{{{x}^{2}}}}}{1-\frac{1}{x}} = \sqrt{m}$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+4}}{x-1} = \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sqrt{m+\frac{4}{{{x}^{2}}}}}{1-\frac{1}{x}} = -\sqrt{m}$ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang $y = \sqrt{m}$ và $y = -\sqrt{m}.$

Xét $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+4}}{x-1},$ do $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{m{{x}^{2}}+4} = \sqrt{m+4}>0$; $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right) = 0$ và $x-1>0,\text{ }\forall x>1$nên $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+4}}{x-1} = +\infty \Rightarrow x = 1$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy $m>0$ là yêu cầu bài toán.

Có học sinh quan sát các đáp án A, B, C, D test nhanh 3 giá trị $m$ là $m = 0;\text{ }m = 1;\text{ }m = -1$ để đưa ra câu trả lời nhanh chóng!

$\Rightarrow $Chọn đáp án C.

Câu 7: Đồ thị hàm số nào dưới đây có số đường tiệm cận nhỏ hơn $2?$

A. $y = \frac{x+1}{x-1}.$

B.$y = \frac{x+1}{{{x}^{2}}-3x+2}.$

C.$y = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2}.$

D.$y = \frac{\sqrt{x-1}}{x+2}.$

Lời giải

Hàm số: $y = \frac{\sqrt{x-1}}{x+2}$ có điều kiện xác định là: $x\ge 1.$

Suy ra: $\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y,\text{ }\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y$ không tồn tại. Mặt khác: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y = 0\Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang và là tiệm cận duy nhất của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x-1}}{x+2}.$ Dễ kiểm tra, đồ thị các hàm số ở các đáp án A, B, C đều có $2$ tiệm cận.

$\Rightarrow $Chọn đáp án D.

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{\left( \sqrt{4-{{m}^{2}}}-1 \right)x+1}{x+1}$ có đường tiệm cận?

A.3.

B.6.

C.4.

D.5.

Lời giải

Để đồ thị hàm số $y = \frac{\left( \sqrt{4-{{m}^{2}}}-1 \right)x+1}{x+1}$ tồn tại tiệm cận (có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 – {m^2}} – 1 – 1 \ne 0\\ 4 – {m^2} \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 – {m^2}} \ne 2\\ m \in \left[ { – 2;2} \right] \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left[ { – 2;2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\},$ mặt khác do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;\text{ }-1;\text{ }1;\text{ }2 \right\}.$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án C.

Câu 9: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x+5}{{{x}^{2}}-3\left| x \right|+2}.$

A. 5.

B.4.

C.1.

D.3.

Lời giải

Ta có: ${x^2} – 3\left| x \right| + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| x \right| = 1\\ \left| x \right| = 2 \end{array} \right.$$\Rightarrow x = 1\vee x = -1\vee x = 2\vee x = -2.$

Mặt khác: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = \infty ;\text{ }\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = \infty ;\text{ }\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = \infty ;\text{ }\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y = \infty \Rightarrow $ đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng $x = 1;\text{ }x = -1;\text{ }x = 2$ và $x = -2.$

$\Rightarrow $Chọn đáp án B.

Câu 10: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D = \left( -5;5 \right)\backslash \left\{ -2;2 \right\},$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có $\underset{x\to -{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = -\infty ;\text{ }\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = -\infty ;\text{ }\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = -\infty ;\text{ }\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) = +\infty .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số y = f(x) có đúng hai đường tiệm cận đứng là x = 2 và x = −2.

B. Đồ thị hàm số y = f(x) có bốn đường tiệm cận đứng là x = −5; x = 5 x = 2 và x = −2.

C.Đồ thị hàm số y = f(x) có đúng hai đường tiệm cận đứng là x = −5 và x = −5.

D.Đồ thị hàm số y = f(x) có năm đường tiệm cận đứng.a

Lời giải

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – {5^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = – \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = – \infty ;\\ {\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = – \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty \end{array}$

nên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có bốn đường tiệm cận đứng là $x = -5;\text{ }x = 5$ $x = 2$ và $x = -2.$

$\Rightarrow $Chọn đáp án B.

Với những chia sẻ ở trên, bạn đã tự tìm giải được những bài tập tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Nhưng bạn cần lưu ý rằng, bạn phải thường xuyên xem lại bài viết này để nhớ được lâu hơn, vận dụng thành thạo hơn. Nếu thấy bài viết này hữu ích, hãy chia sẻ với bạn bè thân thiết, người quan tâm khác nha. Chúc bạn học tốt