Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp cao

Bạn cần học kĩ lý thuyết vi phân và đạo hàm cấp cao đã được học, dựa vào đây ta có thể tìm hiểu được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp cao trong cuộc sống

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp cao

1. Tính đạo hàm cấp cao và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cao

Muốn tính đạo hàm cấp cao và ý nghĩa cơ học của nó thì bạn cần thực hiện 4 bước sau đây

Bước 1: Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

${y}”={{\left( {{y}’} \right)}^{\prime }}$, ${y}”’={{\left( {{y}”} \right)}^{\prime }}$,…, ${{y}^{\left( n \right)}}={{\left( {{y}^{\left( n-1 \right)}} \right)}^{\prime }}$.

Bước 2: Tính đạo hàm cấp n: Trước tiên ta tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, … sau đó dự đoán công thức tổng quát của ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)$.

Bước 3: Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm: Tính đến đạo hàm cấp cao nhất có trong đẳng thức rồi thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi cho ta được kết quả.

Bước 4: Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời $\left( \gamma \right)$ tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp 2 của hàm số $s=f\left( t \right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ${y}”$, biết $y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}$.

A. ${y}”=\frac{x\left( 3+2{{x}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}$.

B. ${y}”=\frac{2x\left( 3+2{{x}^{2}} \right)}{\sqrt{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}$.

C. ${y}”=\frac{x\left( 3-2{{x}^{2}} \right)}{\sqrt{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}$.

D. ${y}”=\frac{x\left( 1+{{x}^{2}} \right)}{2\sqrt{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}$.

Đáp án A

Lời giải

$\begin{align} & {y}’=\frac{1+2{{x}^{2}}}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \\ & \Rightarrow {y}”={{\left( {{y}’} \right)}^{\prime }}=\frac{4x\left( 1+{{x}^{2}} \right)-x\left( 1+2{{x}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \\ & =\frac{x\left( 3+2{{x}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \\ \end{align}$

STUDY TIP

Sau khi tính được đạo hàm bậc nhất ${y}’$ ta có thể sử dụng MTCT với chức năng: $\left( {{\left. \frac{d}{dx}\left( \ldots \right) \right|}_{x}} \right)$ để kiểm tra và tính được kết quả.

Ví dụ 2. Cho $f\left( x \right)={{\left( 2x-3 \right)}^{5}}$. Tính ${f}”’\left( 3 \right)$.

A. $4230$.

B. $4320$.

C. $4204$.

D. $4132$.

Đáp án B

Lời giải

Ta có: ${f}’\left( x \right)=10{{\left( 2x-3 \right)}^{4}}$, ${f}”\left( x \right)=80{{\left( 2x-3 \right)}^{3}}$, ${f}”’\left( x \right)=480{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}$.

$\Rightarrow {f}”’\left( 3 \right)=4320$

STUDY TIP

${f}”\left( x \right)={{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{\prime }}$; ${f}”’\left( x \right)={{\left[ {f}”\left( x \right) \right]}^{\prime }}$

${f}”’\left( x \right)=480{{(2x-3)}^{2}}\Rightarrow {f}”’\left( 3 \right)=4320$

Cách khác sử dụng chức năng $\frac{dy}{dx}\left( \right)\left| \begin{align} & \\ & x=\square \\ \end{align} \right.$ nhập biểu thức đạo hàm của $f”\left( x \right)$ tại điểm $x=2$ rồi so sánh kết quả ta được đáp án B

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=\frac{1}{x}$.Tính ${{y}^{(4)}}$

A. ${{y}^{(4)}}=\frac{-4}{{{x}^{5}}}$.

B. ${{y}^{(4)}}=\frac{1.2.3.4}{{{x}^{5}}}$.

C. ${{y}^{(4)}}=\frac{-4!}{{{x}^{5}}}$.

D. ${{y}^{(4)}}=\frac{-1.2.3.4}{{{x}^{6}}}$.

Đáp án B

Lời giải

$\begin{align} & {y}’=-\frac{1}{{{x}^{2}}}, \\ & {y}”=\frac{1.2}{{{x}^{3}}}, \\ & {{y}^{\left( 3 \right)}}=\frac{1.2.3}{{{x}^{4}}} \\ & \Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{4}}.4!}{{{x}^{4+1}}}=\frac{4!}{{{x}^{5}}} \\ \end{align}$

STUDY TIP

Tổng quát: ${{\left( \frac{1}{x} \right)}^{(n)}}=\frac{{{(-1)}^{n}}.n!}{{{x}^{n+1}}}$

Ví dụ 4: Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y=\frac{1}{ax+b}$,$a\ne 0$ là:

A. ${{y}^{(n)}}=\frac{{{2}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{(ax+b)}^{n+1}}}$.

B. ${{y}^{(n)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{(x+1)}^{n+1}}}$.

C. ${{y}^{(n)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.n!}{{{(ax+b)}^{n+1}}}$.

D. ${{y}^{(n)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{(ax+b)}^{n+1}}}$.

Đáp án D

Lời giải

${y}’=-\frac{a}{{{\left( ax+b \right)}^{2}}},{y}”=\frac{2{{a}^{2}}}{{{\left( ax+b \right)}^{3}}},{y}”’=\frac{-{{a}^{3}}.2.3}{{{\left( ax+b \right)}^{4}}}$

Dự đoán công thức ${{y}^{(n)}}=\frac{{{(-1)}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{(ax+b)}^{n+1}}}$

Nhận xét: Việc dự đoán công thức ta đã được ngay kết quả của bài toán. Tuy nhiên để hiểu rõ và chính xác hơn ta có thể chứng minh công thức tổng quát bằng phương phức quy nạp toán học ( bạn đọc tự làm)

STUDY TIP

Phương pháp quy nạp: ta cần chứng minh mệnh đề $P\left( n \right),n\in {{N}^{*}}$

+ Kiểm tra với $n=1,2\ldots $

+ Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\ge 1,$ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$ .

Ví dụ 5. Đạo hàm cấp ba của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}$ là:

A. $\frac{-6}{{{(x+1)}^{4}}}$.

B. $\frac{-4}{{{(x+1)}^{3}}}$.

C. $\frac{6}{{{(x+1)}^{3}}}$.

D. $\frac{-12}{{{(x+1)}^{4}}}$.

Đáp án A

Lời giải

:

Ta phân tích $$ $y=x+\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow {{y}^{‘}}=1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}},~{y}”=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}},~{y}”’=\frac{-6}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}$.

Nhận xét: Với hàm phân thức bậc của tử cao hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta chia tách phân số và đưa về các phân số dạng $\frac{A}{ax+b}$

Ví dụ 6. Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-5x+6}$ là :

A. ${{y}^{(4)}}=\frac{7.4!}{{{(x-3)}^{5}}}-\frac{5.4!}{{{(x-2)}^{5}}}$.

B. ${{y}^{(4)}}=\frac{5.4!}{{{(x-3)}^{5}}}-\frac{2.4!}{{{(x-2)}^{5}}}$.

C. ${{y}^{(4)}}=\frac{5.4!}{{{(x-2)}^{5}}}-\frac{7.4!}{{{(x-3)}^{5}}}$.

D. ${{y}^{(4)}}=\frac{7}{{{(x-3)}^{5}}}-\frac{5}{{{(x-2)}^{5}}}$.

Đáp án A

Lời giải

$y=\frac{2x+1}{(x-2)(x-3)}=\frac{7}{x-3}-\frac{5}{x-2}$. Mà ${{\left( \frac{1}{x-2} \right)}^{(4)}}=\frac{{{(-1)}^{4}}.4!}{{{(x-2)}^{5}}}=\frac{4!}{{{(x-2)}^{5}}}$

${{\left( \frac{1}{x-3} \right)}^{(4)}}=\frac{{{(-1)}^{4}}.4!}{{{(x-3)}^{5}}}=\frac{4!}{{{(x-3)}^{5}}}$ $$

$\Rightarrow {{y}^{(4)}}=\frac{7.4!}{{{(x-3)}^{5}}}-\frac{5.4!}{{{(x-2)}^{5}}}$

Nhận xét: Với các hàm phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì ta cố gắng đưa mẫu số về dạng tích và phân tích phân số thành tổng, hiệu các phân số dạng $\frac{A}{ax+b}$

STUDY TIP

$\frac{2x+1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$

Các hằng số $A,~B$ tìm được bằng cách quy đồng và đồng nhất hệ số 2 vế

Ví dụ 7. Đạo hàm cấp 3 của hàm số$y=\sin x$ là:

A. ${{y}^{(3)}}=\sin \left( x+\frac{5\pi }{2} \right)$.

B. ${{y}^{(3)}}=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)$.

C. ${{y}^{(3)}}=\sin \left( x+\pi \right)$.

D. ${{y}^{(3)}}=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)$.

Đáp án D

Lời giải

Ta có: ${y}’=\cos x=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)$

${y}”=\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)=\sin \left( x+\pi \right)=\sin \left( x+2\frac{\pi }{2} \right)$

${y}”’=\cos \left( x+\pi \right)=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)$

STUDY TIP

Tổng quát:

${{(\sin x)}^{(n)}}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$ ; ${{(\cos x)}^{(n)}}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$ (với $n\ge 1,~~n~\in {{N}^{*}}$ )

${{\left[ \sin (ax+b) \right]}^{(n)}}={{a}^{n}}.\sin \left( ax+b+\frac{n\pi }{2} \right)$

${{\left[ \cos (ax+b) \right]}^{(n)}}={{a}^{n}}.cos\left[ ax+b+\frac{n\pi }{2} \right]$

Ví dụ 8. Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y={{\sin }^{4}}x$ là :

A. $-8\cos 2x+32\cos 4x$.

B. $4\cos 2x+16\cos 4x$.

C. $8\cos 2x-12\cos 2x$.

D. $6\cos 2x-32\cos 4x$.

Đáp án A

Lời giải

Ta có: $y={{\sin }^{4}}x=\frac{1}{4}\left( 1-2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$

$\Rightarrow {y}’=\sin 2x-\frac{1}{2}\sin 4x$,

${y}”=2\cos 2x-2\cos 4x$,

${y}”’=-4\sin 2x+8\sin 4x$,

${{y}^{\left( 4 \right)}}=-8\cos 2x+32\cos 4x$.

STUDY TIP

Đối với hàm lượng giác, khi tính đạo hàm bậc cao thì ta biến đổi hạ bậc hoặc biến đổi từ tích thành tổng để đưa về bậc nhất, $\text{sin(}ax+b),~\text{cos}\left( ax+b \right)$.

Ví dụ 9. Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\sin 5x.\sin 3x$ là:

A. ${{y}^{(4)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x$.

B. ${{y}^{(4)}}=2048\cos 8x-8\cos 2x$.

C. ${{y}^{(4)}}=1024\cos 16x+4\cos 4x$.

D. ${{y}^{(4)}}=2048\cos 8x-4\cos 4x$.

Đáp án. A.

Lời giải

Ta có$$ $y=\frac{1}{2}\left( \cos 2x-\cos 8x \right)\Rightarrow {{y}^{(4)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x$.

STUDY TIP

${{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

$\sin x.\sin y=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( x-y \right)-\cos \left( x+y \right) \right]$

Ví dụ 10. Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}-12x-1$. Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của$f(x)$ không âm là :

A. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right]$.

B. $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$.

C. $\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)$.

D. $\left[ -\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Đáp án D.

Lời giải

${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}+x-12,{f}”\left( x \right)=2x+1$ Do đó: ${f}”\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{2}$.

Ví dụ 11. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình : $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5t+2$, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi $t=3$ là:

A. $24m/{{s}^{2}}$.

B. $17m/{{s}^{2}}$.

C. $14m/{{s}^{2}}$.

D. $12m/{{s}^{2}}$.

Đáp án D

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại $t=3s$ là $s”\left( 3 \right)$

Ta có: ${s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+5$

${s}”\left( t \right)=6t-6\Rightarrow {s}”\left( 3 \right)=12m/{{s}^{2}}$.

STUDY TIP

Bài toán vận dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm bậc 2. Gia tốc tức thời $(\gamma )$ tại thời điểm ${{t}_{0}}:~\gamma \left( {{t}_{0}} \right)=s”\left( {{t}_{0}} \right)$

Ví dụ 12. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. ${{y}^{3}}.{y}”+1=0$.

B. ${{y}^{2}}.{y}”-1=0$.

C. $3{{y}^{2}}.{y}”+1=0.$.

D. $2{{y}^{3}}.{y}”+3=0.$

Đáp án A

Lời giải

Ta có: ${y}’=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$, ${y}”=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}$

Thay vào: ${{y}^{3}}.{y}”+1=\sqrt{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}.\frac{\left( -1 \right)}{\sqrt{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}+1=-1+1=0.$

Ví dụ 13. Cho hàm số $y=\frac{\text{si}{{\text{n}}^{3}}x+\text{co}{{\text{s}}^{3}}x}{1-\sin x.\cos x}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. $2{y}”+y=0.$

B. ${y}”+y=0.$

C. ${y}”-y=0.$

D. $2{y}”-3y=0.$

Lời giải

Ta có : $y=\frac{\left( \sin x+\cos x \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x-\sin x\cos x \right)}{1-\sin x\cos x}=\sin x+\cos x$

$\Rightarrow {y}’=\cos x-\sin x,~{y}”=-\sin x-\cos x$

$\Rightarrow {y}”+y=0.$

STUDY TIP

Với các biểu thức lượng giác phức tạp ta cần biến đổi rút gọn rồi sau đó tính đạo hàm cấp cao

Ví dụ 14. Phương trình chuyển động của một chất điểm $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t+2$ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0.

A. $10\text{ }m/{{s}^{2}}$.

B. $12\text{ }m/{{s}^{2}}$.

C. $8\text{ }m/{{s}^{2}}$.

D. $16\text{ }m/{{s}^{2}}$.

Đáp án B.

Lời giải

$v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=-1~\left( \text{l} \right) \\ t=3~~~~~~~~~ \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \gamma (3)=12m/{{s}^{2}}$.

3. Bài tập có gợi ý

Bài tập

Câu 1. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm câp hai là $6x$?

A.$y=3{{x}^{2}}$.

B. $y=2{{x}^{3}}$.

C.$y={{x}^{3}}$.

D.$y={{x}^{2}}$.

Câu 2. Cho hàm số $y={{\cos }^{2}}x$. Khi đó ${{y}^{\left( 3 \right)}}\left( \frac{\pi }{3} \right)$ bằng:

A.$2$ .

B.$2\sqrt{3}$.

C.$-2\sqrt{3}$.

D.$-2$.

Câu 3. Cho hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ . Xét hai đẳng thức:

$\left( I \right)y.{y}’=2x$; $\left( II \right){{y}^{2}}.{y}”={y}’$ . Đẳng thức nào đúng?

A.Chỉ $\left( I \right)$.

B.Chỉ $\left( II \right)$.

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Câu 4. Đạo hàm cấp $2$ của hàm số $y=\frac{5{{x}^{2}}-3x-20}{{{x}^{2}}-2x-3}$ bằng:

A.$y=\frac{2\left( 7{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}-93x+77 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{3}}}$ .

B. $y=\frac{2\left( 7{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+93x-77 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{3}}}$.

C. $y=\frac{2\left( 7{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}+93x-77 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)}^{3}}}$.

D. $y=\frac{2\left( 7{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}-93x+77 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)}^{3}}}$.

Câu 5. Hàm số $y={{\sin }^{2}}x$ có đạo hàm cấp $4$ là:

A.${{\cos }^{2}}2x$ .

B.$-{{\cos }^{2}}2x$ .

C.$8\cos 2x$.

D.$-8\cos 2x$.

Câu 6. Cho hàm số $y=\cos x$. Khi đó ${{y}^{\left( 2016 \right)}}\left( x \right)$ bằng:

A.$-\cos x$.

B.$\sin x$.

C.$-\sin x$.

D.$\cos x$.

Câu 7. Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ là:

A.$\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{\left( x-1 \right)}^{n+1}}}$ .

B.$\frac{n!}{{{\left( x-1 \right)}^{n+1}}}$ .

C.$\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.n!}{{{\left( x-1 \right)}^{n+1}}}$ .

D.$\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.n!}{{{\left( x-1 \right)}^{n}}}$ .

Câu 8. Đạo hàm cấp $2$ của hàm số : $y=\tan x+\cot x+\sin x+\cos x$ là:

A.$\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{2\cot x}{{{\sin }^{2}}x}-\sin x+\cos x$.

B. $0$.

C.${{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}x+\cos x-\sin x$.

D.$\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2\cot x}{{{\sin }^{2}}x}-\sin x-\cos x$.

Câu 9. Cho hàm số $y=\sin 2x$. Đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi $x$?

A. ${{y}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}=4$.

B.$4y+{y}”=0$.

C.$4y-{y}”=0$ .

D.$y={y}’.\tan 2x$.

Câu 10. Cho hàm số $y={{\cos }^{2}}2x$. Giá trị của biểu thức ${{y}^{m}}+{{y}^{n}}+16{y}’+16y-8$ là kết quả nảo?

A.$0$.

B.$8$ .

C.$-8$.

D.$16\cos 4x$.

Câu 11. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)$. Phương trình ${{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8$ có số nghiệm thuộc đoạn$\left[ 0;\pi \right]$ là:

A.$1$ .

B.$2$ .

C.$3$.

D.$0$ .

Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)=5{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right)$.Tập nghiệm của phương trình ${f}”\left( x \right)=0$là:

A.$\left[ -1;2 \right]$ .

B.$\left( -\infty ;0 \right]$.

C.$\varnothing $.

D.$\left\{ -1 \right\}$ .

Câu 13. Cho hàm số $y=\frac{-2{{x}^{2}}+3x}{1-x}$. Đạo hàm cấp $4$ của hàm số này là:

A.${{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{16}{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}$.

B.${{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{32}{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}$.

C.${{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{-24}{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}$ .

D.${{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{24}{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}$.

Câu 14. Cho hàm số$y=x.\sin x$. Tìm hệ thức đúng:

A.${y}”+y=-2\cos x$.

B.${y}”-{y}’=2\cos x$.

C.${y}”+{y}’=2\cos x$.

D.${y}”+y=2\cos x$.

Câu 15. Phương trình chuyển động của một chất điểm $s=15+20{{t}^{2}}-8{{t}^{3}}$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng $0$là:

A.$\frac{50}{3}m/s$.

B.$\frac{10}{3}m/s$.

C.$15m/s$.

D.$20m/s$.

Câu 16. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=-{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}+t+10$ trong đó $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

A.$t=5\,s$.

B.$t=6\,s$.

C.$t=2\,s$.

D.$t=3\,s$.

Câu 17. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1$ trong đó $t$ là giây,$s$ là mét. Gia tốc của chuyển động khi $t=2$ là:

A.$12\,m/s$.

B.$8\,m/s$.

C.$7\,m/s$.

D.$6\,m/s$.

Câu 18. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình$s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}$ ($t$ tính bằng giây,$s$ tính bằng mét). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Gia tốc của chuyển động khi $t=4\,s$ là $\gamma =18\,m/{{s}^{2}}$.

B. Gia tốc của chuyển động khi $t=4\,s$ là $\gamma =9\,m/{{s}^{2}}$.

C. Gia tốc của chuyển động khi $t=3\,s$ là $\gamma =12\,m/{{s}^{2}}$.

D. Gia tốc của chuyển động khi $t=3\,s$ là $\gamma =24\,m/{{s}^{2}}$.

Gợi ý chi tiết

Câu 1. Đáp án C

$y={{x}^{3}},\,{y}’=3{{x}^{2}},\,{y}”=6x$

Câu 2. Đáp án B

${y}’=-\sin 2x,\,{y}”=-2\cos 2x\Rightarrow {{y}^{\left( 3 \right)}}=4\sin 2x\Rightarrow {{y}^{\left( 3 \right)}}\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\sqrt{3}$ .

Câu 3. Đáp án C

Ta có: ${y}’=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}},\,{y}”=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\frac{x.x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}$

$\Rightarrow y.{y}’=x$ và ${{y}^{2}}.{y}”=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ nên $\left( I \right)$ và $\left( II \right)$ sai.

Câu 4. Đáp án B

Ta có ${y}’=\frac{-7{{x}^{2}}+10x-31}{{{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}”=\frac{2\left( 7{{\text{x}}^{3}}-15{{x}^{2}}+93\,x-77 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)}^{3}}}$.

Kết luận: Ta có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm tại 1 điểm $x=0$ của ${y}’$ và thử với $x=0$ vào các Đáp án ta được kết quả.

Câu 5. Đáp án D

Ta có:${y}’=\sin 2x,\,{y}”=2\cos x,\,{y}”’=-4\sin 2x\Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8\cos 2x$.

Câu 6. Đáp án D

Áp dụng ${{\cos }^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\Rightarrow {{y}^{\left( 2016 \right)}}\left( x \right)=\cos \left( x+1008\pi \right)=\cos x$.

Câu 7. Đáp án C

Áp dụng ${{\left( \frac{1}{ax+b} \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{\left( ax+b \right)}^{n+1}}}$ ta được: ${{y}^{\left( n \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.n!}{{{\left( x-1 \right)}^{n+1}}}$ .

Câu 8. Đáp án D

${y}’={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}x+\cos x-\sin x\Rightarrow {y}”=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2\cot x}{{{\sin }^{2}}x}-\sin x-\cos x$ .

Câu 9. Đáp án B

${y}’=2\cos 2x,\,{y}”=-4\sin 2x\Rightarrow 4y+{{y}’}’=0$

Câu 10. Đáp án A.

${y}’=-2\sin 4x,\,{y}”=-8\cos 4x,{y}”’=32\sin 4x\Rightarrow {y}”’+{y}”+16{y}’+16y-8=0$.

Câu 11. Đáp án B

Áp dụng ${{\left[ \cos \left( ax+b \right) \right]}^{n}}={{a}^{n}}.\cos \left( ax+b+\frac{n\pi }{2} \right)$

$\Rightarrow {{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=16.\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3}+2\pi \right)\Rightarrow {{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8$

$\Leftrightarrow \cos \left( 2\text{x}-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\frac{-\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ .

Với $x\in \left[ 0;\pi \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2},x=\frac{5\pi }{6}$.

Câu 12. Đáp án D

${f}’\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4,\,{f}”\left( x \right)=30\left( x+1 \right)\Rightarrow {f}”\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1$.

Câu 13. Đáp án C

$\begin{align} & y=2\text{x}-1-\frac{1}{x-1}\Rightarrow {y}’=2+\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},\, \\ & {y}”=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},\,{y}”’=\frac{2.3}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}},\, \\ & {{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{-2.3.4}{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}=\frac{-24}{{{\left( x-1 \right)}^{5}}} \\ \end{align}$ .

Câu 14. Đáp án D

Ta có: ${y}’=\sin x+x\cos x,\,{y}”=2\cos x-x\sin x\Rightarrow {y}”+y=2\cos x$.

Câu 15. Đáp án A.

Ta có : $\gamma \left( t \right)={s}”\left( t \right)=40-48t$

Gia tốc: $\gamma \left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{6}\Rightarrow v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=40-24{{t}^{2}}$.

$v\left( \frac{5}{6} \right)=40.\frac{5}{6}-24.{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}=\frac{50}{3}\left( m/s \right)$

Câu 16. Đáp án D

$\begin{align} & v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+18t+1 \\ & =-3\left( {{t}^{2}}-6t+9 \right)+28 \\ & =28-3{{\left( t-3 \right)}^{2}}\ge 28 \\ \end{align}$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi $t=3s$.

Câu 17. Đáp án B

${s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-4t+4,\,{{s}’}’\left( t \right)=6t-4$

Vậy gia tốc $\gamma \left( 2 \right)={{s}’}’\left( 2 \right)=8\left( m/{{s}^{2}} \right)$

Câu 18. Đáp án A.

${s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t,\,{{s}’}’\left( t \right)=6t-6\Rightarrow {{s}’}’\left( 4 \right)=18\left( m/{{s}^{2}} \right)$