Vi phân và đạo hàm cấp cao lớp 11

Tiếp theo phần đạo hàm cơ bản là vi phân và đạo hàm cấp cao. Trong bài này, các em sẽ được học các kiến thức về vi phân của hàm số, đạo hàm cấp cao của hàm số. Muốn học tốt chủ đề này bạn cần nắm vững những kiến thức căn bản, những công thức. Do vậy, HsMath đã biên soạn bài viết hết sức công phu gồm các kiến thức căn bản và nâng cao mà các bạn thường xuyên phải sử dụng. Một điểm đặc biết, để giúp các em học tốt chủ đề này thì trong bài viết có Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, phần bài tập có hướng dẫn kèm đáp án chính xác giúp bạn học tập hiệu quả hơn.

vi phân và đạo hàm cấp cao

1. Vi phân của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\left( a;\,\,b \right)$ và có đạo hàm tại $x\in \left( a;\,\,b \right)$. Ta gọi tích ${f}’\left( x \right).\,\Delta x$ (hoặc ${y}’.\,\Delta x$) là vi phân của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại $x$ ứng với số gia $\Delta x$.

Kí hiệu: $\text{d}f\left( x \right)$ hoặc $\text{d}y$.

Vậy ta có: $\text{d}y={y}’.\,\Delta x$ hoặc $\text{d}f\left( x \right)={f}’\left( x \right).\,\Delta x$.

b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Do ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Với $\left| \Delta x \right|$ đủ nhỏ thì ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)\approx \frac{\Delta y}{\Delta x}\Leftrightarrow \Delta y={f}’\left( {{x}_{0}} \right).\,\Delta x$ $\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}’\left( {{x}_{0}} \right).\,\Delta x$.

STUDY TIP

Với $y=x$ ta có: $\text{d}y={{\left( x \right)}^{\prime }}.\,\Delta x\Leftrightarrow \text{d}x=\Delta x$. Vậy $\text{d}f\left( x \right)={f}’\left( x \right)\text{dx}$.

2. Đạo hàm cấp cao

a) Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)$. Khi đó đạo hàm của hàm số ${f}’\left( x \right)$ nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right)$.

Kí hiệu: ${y}”$ hay ${f}”\left( x \right)$. Viết: ${f}”\left( x \right)={{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{\prime }}$.

b) Đạo hàm cấp n

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp n-1 (n ∈N,n≥4). Kí hiệu ${{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right)$. Nếu ${{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp $n$ của $f\left( x \right)$.

Kí hiệu: ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)$ hoặc ${{y}^{\left( n \right)}}$. Viết: ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}$.

STUDY TIP

Đạo hàm cấp 3 của hàm số $y=f\left( x \right)$ là ${f}”’\left( x \right)$ hoặc ${{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)$ hay ${y}”’$.

c) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình $s=f\left( t \right)$ với $f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm.

Khi đó gia tốc tức thời $\left( \gamma \right)$ của chuyển động tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( t \right)$ là $\gamma \left( t \right)={f}”\left( t \right)$.

STUDY TIP

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là $v\left( t \right)={f}’\left( t \right)$.

3. Ví dụ minh họa về vi phân và đạo hàm cấp cao

Phương pháp:

  • Tính vi phân của hàm số $f\left( x \right)$ tại ${{x}_{0}}$ cho trước: $df\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x$.
  • Tính vi phân của hàm số $f\left( x \right)$: $df\left( x \right)={f}’\left( x \right).dx$.
  • Dùng vi phân tính gần đúng.

Ví dụ 1. Vi phân của hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-x$ tại điểm $x=2$ ứng với $\Delta x=0,1$ là:

A. $-0,07$.

B. $10$.

C. $1,1$ .

D. $-0,4$.

Lời giải

Đáp án C

Ta có: ${f}’\left( x \right)=6x-1\Rightarrow {f}’\left( 2 \right)=11\Rightarrow df\left( 2 \right)={f}’\left( 2 \right).\Delta x=11.0,1=1,1$.

Ví dụ 2. Vi phân của hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x$ tại điểm $x=\frac{\pi }{3}$ ứng với $\Delta x=0,01$ là:

A. $-1,1$.

B. $10$.

C. $0,1$ .

D. $-0,01$.

Lời giải

Đáp án D

$\begin{align} & {f}’\left( x \right)=2\cos 2x\Rightarrow {f}’\left( \frac{\pi }{3} \right)=-1 \\ & \Rightarrow df\left( \frac{\pi }{3} \right)={f}’\left( \frac{\pi }{3} \right).\Delta x=-0,01 \\ \end{align}$.

STUDY TIP

Việc tính vi phân của hàm số tại một điểm ${{x}_{0}}$ chính là tích của đạo hàm tại một điểm ${{x}_{0}}$ và số gia $\Delta x$ tương ứng.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{x}$. Biểu thức $0,01.{f}’\left( 0,01 \right)$ là số nào?

A. $9$.

B. $-9$.

C. $90$ .

D. $-90$.

Lời giải

Đáp án D

${f}’\left( x \right)=\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}’\left( 0,01 \right)=-9000\Rightarrow 0,01f\left( 0,01 \right)=-90$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y=\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}$. Chọn kết quả đúng:

A. $df\left( x \right)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}dx$.

B. $df\left( x \right)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}dx$.

C. $df\left( x \right)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}dx$ .

D. $df\left( x \right)=\frac{-\sin 2x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}dx$.

Lời giải

Đáp án B

Ta có: $df\left( x \right)=\frac{{{\left( 1+{{\cos }^{2}}2x \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}dx=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}dx$

STUDY TIP

Có thể sử dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số sau đó ta cũng được kết quả của tính vi phân.

Ví dụ 5. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0\\ x{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0 \end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. ${f}’\left( {{0}^{+}} \right)=1$.

B. ${f}’\left( {{0}^{-}} \right)=1$.

C. $df\left( 0 \right)=dx$ .

D. Hàm số không có vi phân tại $x=0$.

Lời giải

Đáp án D

Ta có: ${f}’\left( {{0}^{+}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x}{x}=1;{f}’\left( {{0}^{-}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1$ và $df\left( 0 \right)=dx$.

STUDY TIP

Với hàm số có nhiều biểu thức việc tính đạo hàm của hàm ta dùng định nghĩa.

Ví dụ 6. Dùng vi phân tính gần đúng $\sqrt[3]{26,7}$ có giá trị là:

A. $2,999$.

B. $2,98$.

C. $2,97$ .

D. $2,89$.

Lời giải

Đáp án A.

Xét $f\left( x \right)=\sqrt[3]{x}$ thì ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{3.\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$. Cho ${{x}_{0}}=27,\text{ }\Delta x=-0,3$.

Theo công thức gần đúng $f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx {f}’\left( {{x}_{0}} \right).\Delta x+f\left( {{x}_{0}} \right)$

$\Rightarrow \sqrt[3]{27,3}\approx \sqrt[3]{27}+\frac{1}{27}\left( -0,3 \right)\approx 2,999.$

STUDY TIP

Sử dụng vi phân để tính gần đúng ta xét hàm số $f\left( x \right)$ và chọn ${{x}_{0}},\text{ }\Delta x$ sao cho phù hợp.

Ví dụ 7. Dùng vi phân tính gần đúng $\sin 29{}^\circ $ có giá trị là:

A. $0,4849$.

B. $0,5464$.

C. $0,4989$.

D. $0,4949$.

Đáp án A.

Lời giải

Xét $f\left( x \right)=\sin x$ với $29{}^\circ =\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{180}\left( rad \right)$ .

Có ${f}’\left( x \right)=\cos x$.

Chọn ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{6}$, $\Delta x=-\frac{\pi }{180}\Rightarrow \sin \left( \frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{180} \right)\approx \sin \frac{\pi }{6}+\cos \left( \frac{\pi }{6} \right).\left( -\frac{\pi }{180} \right)\approx 0,4849$.

Vi phân và đạo hàm cấp cao

4. Bài tập vi phân và đạo hàm cấp cao

Bài tập

Câu 1. Cho hàm số$y={{x}^{3}}$. Tính vi phân của hàm số tại ${{x}_{0}}=1$ với số gia $\Delta x=0,01$.

A.$0,01$.

B.$3.{{\left( 0,01 \right)}^{2}}$.

C.${{\left( 0,01 \right)}^{3}}$.

D.$0,03$.

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x+3}{1-2x}$.Vi phân của hàm số tại $x=-3$ là:

A.$dy=\frac{1}{7}dx$.

B.$dy=7dx$.

C.$dy=-\frac{1}{7}dx$.

D.$dy=-7dx$.

Câu 3. Xét hàm số $x=\sin y\left( 0<y<\frac{\pi }{2} \right)$ cùng với ba đẳng thức:

$\left( I \right)\frac{dx}{dy}=\cos y$ ; $\left( II \right)\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$; $\left( III \right)\frac{dy}{dx}=\cos x$;

Số đẳng thức đúng là:

A. Chỉ $\left( I \right)$.

B. Chỉ $\left( III \right)$.

C.Chỉ $\left( I \right)$ và $\left( II \right)$.

D. Chỉ $\left( I \right)$ và $\left( III \right)$.

Câu 4. Vi phân của hàm số $y={{\cos }^{2}}3x$ là:

A.$dy=3{{\sin }^{2}}3xdx$.

B.$dy=\sin 6xdx$.

C.$dy=-3\sin 6xdx$.

D.$dy=6\sin 6xdx$.

Câu 5. Với hàm số ${{x}^{2}}y+{{y}^{3}}=2$ thì đạo hàm ${y}’$ tại điểm $\left( 1;1 \right)$ bằng:

A.$-\frac{3}{2}$ .

B.$-1$.

C.$-\frac{1}{2}$.

D.$0$ .

Câu 6. Cho hàm số $y=\sin \left( \sin x \right)$. Vi phân của hàm số là:

A.$dy=\cos \left( \sin x \right).\sin xdx$ .

B.$dy=\sin .\left( \cos x \right).dx$.

C.$dy=\cos \left( \sin x \right),\cos xdx$.

D.$dy=\cos \left( \sin x \right)dx$.

Câu 7. Vi phân của hàm số $y=\frac{x\sin x+\cos x}{x\cos x-\sin x}$ bằng:

A.$dy=\frac{dx}{{{\left( x\cos x-\sin x \right)}^{2}}}$ .

B. $dy=\frac{{{x}^{2}}dx}{{{\left( x\cos x-\sin x \right)}^{2}}}$ .

C.$dy=\frac{\cos xdx}{{{\left( x\cos x-\sin x \right)}^{2}}}$ .

D. $dy=\frac{{{x}^{2}}\sin xdx}{{{\left( x\cos x-\sin x \right)}^{2}}}$ .

Câu 8. Xét hàm số ${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}-1$. Nếu đặt $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ thì $\frac{dy}{dx}$ nhận kết quả nào sau đây?

A.$2x\left( {{x}^{4}}-1 \right)$.

B.$2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ .

C.${{x}^{4}}-1$.

D.${{x}^{2}}-1$.

Câu 9. Xét hàm số $y={{x}^{2}}$. Gọi $\Delta x,\,dy$ theo thứ tự là số gia và vi phân của hàm số $y$ tại ${{x}_{0}}=1$ và $dx=0,01$ . Hiệu của $\Delta y-dy$ bằng:

A.$0,001$.

B.$0,002$.

C.$0,0001$.

D.$0,00001$.

Câu 10. Xét $\cos y={{\sin }^{2}}x\left( 0<y<\frac{\pi }{2},\,0<x<\frac{\pi }{2} \right)$. Đạo hàm của $y$ tại $x=\frac{\pi }{4}$ là:

A.$\frac{\pi }{6}$.

B.$\frac{\pi }{3}$.

C.$\frac{-2}{\sqrt{3}}$ .

D.$\frac{-\sqrt{3}}{2}$ .

Câu 11. Vi phân của hàm số$y=\frac{-2{{x}^{2}}-2x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}$ là:

A.$dy=\frac{2\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{3}}}dx$.

B. $dy=\frac{\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{3}}}dx$.

C. $dy=\frac{\left( 3x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{3}}}dx$.

D. $dy=\frac{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{3}}}dx$.

Câu 12. Cho hàm số:$y=-2\sqrt{1-x}$. Kết luận nào sau đây là đúng?

A.$\sqrt{1-x}\,dy-dx=0$.

B. $-\sqrt{1-x}\,dx-dy=0$.

C.$2\sqrt{1-x}\,dy+dx=0$.

D.$\sqrt{1-x}\,dy+dx=0$.

Vi phân và đạo hàm cấp cao

Lời giải chi tiết

Câu 1. Đáp án D

$dy={{3.1}^{2,}}.0,01=0,03$

Câu 2. Đáp án A.

Ta có: ${y}’=\frac{7}{{{\left( 1-2\text{x} \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}’\left( 3 \right)=\frac{1}{7}\Rightarrow dy=\frac{1}{7}dx$ .

Câu 3. Đáp án C

Ta có: $x=\sin y\left( 0<y<\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dx=\cos y\text{d}y\Rightarrow \frac{dx}{dy}=\cos y$ và $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ đúng.

Câu 4. Đáp án C

${y}’=2cos3x\left( -3\sin 3x \right)=-3\sin 6\text{x}\Rightarrow dy=-3\sin 6x\text{d}x$ .

Câu 5. Đáp án C

${{x}^{2}}y+{{y}^{3}}=2\Rightarrow d\left( {{x}^{2}}y \right)+d\left( {{y}^{3}} \right)=0\Leftrightarrow 2xy\text{d}x+{{x}^{2}}dy+3{{y}^{2}}dy=0$ tại điểm $\left( 1;1 \right)$ ta có:

$2dx+dy+3dy=0\Rightarrow 4dy=-2dx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}={y}’\left( 1 \right)$.

Câu 6. Đáp án C

${y}’=\operatorname{cosx}.cos\left( \sin x \right)\Rightarrow dy=\cos x.cos\left( \sin x \right)dx$ .

Câu 7. Đáp án B

Ta có :${y}’=\frac{\left( x\cos x \right)\left( x\cos x-\sin x \right)-\left( x\sin x+\cos x \right)\left( -x\sin x \right)}{{{\left( x\cos x-\sin x \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( x\cos x-\sin x \right)}^{2}}}$ .

Câu 8. Đáp án A.

Đặt $u={{x}^{2}}\Rightarrow y=f\left( u \right)$

Từ ${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}-1\Rightarrow {f}’\left( u \right)={{u}^{2}}-1$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}={f}’\left( u \right).\frac{du}{dx}=\left( {{u}^{2}}-1 \right)2x=2x\left( {{x}^{4}}-1 \right)$.

Câu 9. Đáp án C

Chọn $\Delta x=dx=0,01;\,{{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1$

$dy=2.0,01=0,02\Rightarrow \Delta y-dy=0,0001$ .

Câu 10. Đáp án C

$\cos y={{\sin }^{2}}x\Rightarrow -\sin y\text{d}y=\sin 2x\text{d}x$.

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\sin 2x}{-\sin y}=\frac{\sin 2x}{-\sqrt{1-{{\cos }^{2}}y}}$ (vì $\sin y>0$ ) $\Rightarrow \frac{dy}{dx}={y}’=\frac{-\sin \frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{4}}\frac{\pi }{4}}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Câu 11. Đáp án A.

${y}’=\frac{\left( -4x-2 \right){{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}-\left( -2{{x}^{2}}-2x \right)2\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{4}}}$ $=\frac{2\left( 2\text{x}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{3}}}$ .

Lưu ý: có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm tại một điểm $x=0$ và thử lại $x=0$ vào các Đáp án ta được kết quả là A.

Câu 12. Đáp án A.

Ta có:${y}’=\frac{1}{\sqrt{1-x}},\,dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\Rightarrow \sqrt{1-x}dy-dx=0$.