Tiếp tuyến đồ thị hàm số

Một trong những ứng dụng quan trọng của đạo hàm là tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Bài viết sau đây sẽ hướng dẫn bạn chi tiết cách làm dạng toán này. Hãy cùng HsMath bắt đầu vào bài học hôm nay.

Tiếp tuyến đồ thị hàm số

1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng.

Định nghĩa: Nếu cát tuyến ${{M}_{0}}M$ có vị trí giới hạn ${{M}_{0}}T$. Khi điểm $M$ di chuyển trên ${(C)}$ và dần đến ${M_0}$ thì đường thẳng ${{M}_{0}}T$ gọi là tiếp tuyến của đường cong ${(C)}$ tại điểm ${{M}_{0}}$. Điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$được gọi là tiếp điểm.

Tiếp tuyến đồ thị hàm số
Tiếp tuyến đồ thị hàm số

Định lý: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên $\left( a;\,b \right)$ và (C) là đồ thị hàm số. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến ${{M}_{0}}T$của $\left( C \right)$ tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$.

2. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

a. Tiếp tuyến tại một điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in \left( C \right)$:

${y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}}$

STUDY TIP

– Hệ số góc $k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)$.

– Nếu cho ${{x}_{0}}$ thì thế vào $y=f\left( x \right)$ tìm ${{y}_{0}}$.

– Nếu cho ${{y}_{0}}$ thì thế vào$y=f\left( x \right)$ giải phương trình tìm ${{x}_{0}}$.

b. Tiếp tuyến biết hệ số góc

– Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến: $k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\,\,\left( * \right)$

Giải phương trình $\left( * \right)$ ta tìm được hoành độ của tiếp điểm ${{x}_{0}}$ thế và phương trình $y=f\left( x \right)$ tìm tung độ ${{y}_{0}}$.

– Khi đó phương trình tiếp tuyến: $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\,\,\,\left( d \right)$

STUDY TIP

* Tiếp tuyến $d\text{//}\Delta \text{: }\,y=ax +b \Rightarrow \,k=a$.

* Tiếp tuyến $d\bot \Delta \text{: }\,y=ax +b \Rightarrow \,k.a=-1\,.$

* $k=\tan \alpha $, với $\alpha $là góc giữa $d$ và tia $Ox$.

c. Tiếp tuyến đi qua một điểm

Lập phương trình tiếp tuyến $d$ với $\left( C \right)$ biết $d$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{M}};\,{{y}_{M}} \right)$

Phương pháp:

  • Gọi ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm.
  • Phương trình tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}:y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\,\,\,\,\left( d \right)$.
  • Vì đường thẳng $d$ đi qua $M$ nên ${{y}_{M}}-{{y}_{0}}\,={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{M}}-{{x}_{0}} \right)$. Giải phương trình ta tìm được ${{x}_{0}}$ rồi suy ra ${{y}_{0}}$.

STUDY TIP

Điểm $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong $\left( C \right)$

Bài tập tiếp tuyến đồ thị hàm số

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị $\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( -1;\,3 \right)$ là:

A. $y=-3x.$

B. $y=-x+3.$

C. $y=-9x+6.$

D. $y=-9x-6.$

Đáp án A.

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

${y}’=3{{x}^{2}}+6x$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( -1;\,3 \right)$ là: $y={y}’\left( -1 \right)\left( x+1 \right)+3\Leftrightarrow y=-3x$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=\frac{4}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-1$ là:

A. $y=-x+2.$

B. $y=x+2.$

C. $y=x-1.$

D. $y=-x-3.$

Đáp án D

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

${y}’=-\frac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};\,{y}’\left( -1 \right)=-1;\,y\left( -1 \right)=-2$

Phương trình tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}\left( -1;\,-2 \right)$ là: $y={y}’\left( -1 \right)\left( x+1 \right)-y\left( -1 \right)=-x-3$

STUDY TIP

Học sinh nhận biết các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm

– Cho $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$.

– Cho ${{x}_{0}}$ tìm ${{y}_{0}}$.

– Cho ${{y}_{0}}$ tìm ${{x}_{0}}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1\,\,\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ ${{y}_{0}}=2$ là:

A. $y=8x-6;\,y=-8x-6.$

B. $y=8x-6;\,y=-8x+6.$

C. $y=8x-8;\,y=-8x+8.$

D. $y=41x-17.$

Đáp án A.

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$\begin{align} & {y}’=4{{x}^{3}}+4x \\ & {{y}_{0}}=2\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1=2\Rightarrow x=-1;\,x=1 \\ \end{align}$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( 1;\,2 \right):\,y=8x-6$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( -1;\,2 \right):\,y=-8x-6$.

STUDY TIP

Giải phương trình $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0,\,\left( a\ne 0 \right)$. Đặt $t={{x}^{2}},\,t\ge 0$ suy ra giải phương trình bậc hai $a.{{t}^{2}}+bt+c=0$

Ví dụ 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{4x+2}{x-2}$ tại điểm ${{x}_{0}}=3$có hệ số góc bằng:

A. $3.$

B. $-7.$

C. $-10.$

D. $-3.$

Đáp án C

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

${y}’=-\frac{10}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}};\,k={y}’\left( -3 \right)=-10.$

Ví dụ 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+3{{x}^{2}}-2$ có hệ số góc $k=-9$ có phương trình là:

A. $y=-9x-11.$

B. $y=-9x-27.$

C. $y=-9x+43.$

D. $y=-9x+11.$

Đáp án A.

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$\begin{align} & {y}’={{x}^{2}}+6x \\ & \,k=-9\Leftrightarrow {y}’\left( {{x}_{0}} \right)=-9\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-3\Rightarrow {{y}_{0}}=16. \\ \end{align}$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( -3;\,\,16 \right):\,y=-9x-11$

STUDY TIP

Học sinh nhận biết được loại bài toán viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc$k:\,k={f}’\left( {{x}_{0}} \right).$

Ví dụ 6. Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}\,\,\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:\,y=-4x+1$ là:

A. $y=-4x-2;\,y=-4x+14.$

B. $y=-4x+21;\,y=-4x+14.$

C. $y=-4x+2;\,y=-4x+1.$

D. $y=-4x+12;\,y=-4x+14.$

Đáp án A.

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$${y}’=\frac{-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm $\Rightarrow {y}’\left( {{x}_{0}} \right)=-4\Leftrightarrow -4=\frac{-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=0 \\ & {{x}_{0}}=2 \\ \end{align} \right.$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( 0;-\,2 \right):\,y=-4x-2$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( 2;\,6 \right):\,y=-4x+14.$

STUDY TIP

Hai đường thẳng song song thì cùng hệ số góc.

Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc của hai đường thẳng bằng $-1.$

Ví dụ 7. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x\,\,\,\,\left( C \right)$. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm $M,\,N$ trên $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $y=-x+2017.$ Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ bằng:

A. $\frac{8}{3}.$

B. $\frac{2}{3}.$

C. $\frac{4}{3}.$

D. $\frac{5}{3}.$

Đáp án C

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$${y}’=3{{x}^{2}}-4x+2.$

Từ giả thiết suy ra ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $1=3{{x}^{2}}-4x+2\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x+1=0\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{4}{3}$

Ví dụ 8. Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}\,\,\,\,\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi quađiểm $M\left( -7;\,5 \right)$.

A. $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4};\,y=-\frac{3}{16}x+\frac{29}{16}.$

B. $y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2};\,y=-\frac{3}{16}x+\frac{2}{16}.$

C. $y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4};\,y=-\frac{3}{16}x+\frac{9}{16}.$

D. $y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4};\,y=-\frac{3}{16}x+\frac{29}{16}.$

Đáp án D

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$${y}’=\frac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm. Do tiếp tuyến qua $M\left( -7;\,5 \right)$ nên:

$5=\frac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( -7-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}\Rightarrow {{x}_{0}}^{2}-4{{x}_{0}}-5=0\Rightarrow {{x}_{0}}=-1;\,{{x}_{0}}=5.$

Ta tìm được hai phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}$và $y=-\frac{3}{16}x+\frac{29}{16}.$

STUDY TIP

Học sinh cần phân biệt loại bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ và viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( {{x}_{M}};\,{{y}_{M}} \right)$. Dấu hiệu ban đầu là điểm $M\left( {{x}_{M}};\,{{y}_{M}} \right)$ có thể thuộc đường cong $\left( C \right)$ hay có thể không thuộc đường cong $\left( C \right)$

Ví dụ 9. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-1-m\left( x+1 \right)\,\,\,\left( {{C}_{m}} \right)$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để tiếp tuyến tại $\left( {{C}_{m}} \right)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $8?$

A. $1.$

B. $2.$

C. $3.$

D. $4.$

Đáp án D

Lời giải

$\left( {{C}_{m}} \right)$giao với $Oy:\,M\left( 0;\,1-m \right)$

${y}’=3{{x}^{2}}-m,\,y\left( 0 \right)=-m$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại $M:\,y=-mx+1-m$

Nếu $m=0$ tiếp tuyến song song với $Ox$ (loại)

Xét $m\ne 0.$Gọi $A$,$B$ lần lượt là giao điểm tiếp tuyến và hai trục tọa độ

$\Rightarrow A\left( \frac{1-m}{m};\,0 \right);\,B\left( 0;\,1-m \right).$

Ta có ${{S}_{OAB}}=8\Leftrightarrow \frac{1}{2}OA.OB=8\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \frac{1-m}{m} \right|\left| 1-m \right|=8$$\Leftrightarrow \frac{{{\left( 1-m \right)}^{2}}}{\left| m \right|}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=9\pm 4\sqrt{5} \\ & m=-7\pm 4\sqrt{3} \\ \end{align} \right..$

Vậy có bốn giá trị của $m$ thỏa mãn.

Ví dụ 10. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+2m\,\,\,\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm $m$ để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :\,y=2x+1$

A. $m=1.$

B. $m=2.$

C. $m=\frac{11}{6}.$

D. $m=\frac{6}{11}.$

Đáp án C

Lời giải

${y}’=3{{x}^{2}}-4x+m-1$

Ta có ${y}’=3{{\left( x-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+m-\frac{7}{3}\ge m-\frac{7}{3}$

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=\frac{2}{3}$ có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc đó có giá trị $k=m-\frac{7}{3}$.

Theo bài ra: $2.k=-1\Leftrightarrow 2\left( m-\frac{7}{3} \right)=-1\Rightarrow m=\frac{11}{6}.$

4. Bài tập tự luyện

Đề bài

Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ tại điểm có hoành độ $x_0=0$

A. $y=2x+1$.

B. $y=2x-1$.

C. $y=x-2$.

D. $y=x+2$.

Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+2}$ tại điểm có tung độ ${{y}_{0}}=2$

A. $y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$.

B. $y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}$.

C. $y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$.

D. $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$.

Câu 3. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)=\sin x$, $x\in [0;2\pi ]$ song song với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+3$ là :

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1$ tại điểm ${{x}_{0}}=-1$ có hệ số góc bằng :

A. 7.

B. 5.

C. 1.

D. -1.

Câu 5. Cho hàm số $y=\frac{2x-4}{x-3}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục hoành là:

A. $y = 2x-4$.

B. $y=3x+1$.

C. $y = -2x + 4$.

D. $y = 2x$.

Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-2x+2$ vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trên hệ trục $Oxy$ là:

A. $y = -x-2$ và $y = -x+4$.

B. $y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{9}$ và $y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5\sqrt{3}}{9}$.

C. $y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18-5\sqrt{3}}{9}$ và $y=-x-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18+5\sqrt{3}}{9}$.

D. .$y=-x-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{18-5\sqrt{3}}{9}$ và $y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{18+5\sqrt{3}}{9}$

Câu 7. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x}\text{ }\left( C \right)$ tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với các trục tọa độ là :

A. $y = x-1$.

B. $y = x-1$ và $y = x + 1$.

C. $y=-x+1$.

D. $y=x+1$.

Câu 8. Cho hàm số $y={{x}^{2}}-6x+5$ có tiếp tuyến song song trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là :

A. $x = -3$.

B. $y= -4$.

C. $y= 4$.

D. $y= 3$.

Câu 9. Cho hàm số $y=2-\frac{4}{x}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $y=-x+2$ là:

A. $y=x+4$.

B. $y=x-2$ và $y=x+4$.

C. $y=x-2$ và $y=x+6$.

D. $y=x+3$ và $y=x-1$.

Câu 10. Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Có bao nhiêu nhiêu cặp điểm thuộc $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 11. Trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ có điểm $M(x_0;y_0)$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vói các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó $x_0+y_0$ bằng :

A. $3$.

B. $\frac{13}{3}$.

C. $-\frac{1}{7}$.

D. $-\frac{13}{4}$.

Câu 12. Cho hàm số $\left( C \right):y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2$ . Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình ${y}”=0$ là

A. $y=-x-\frac{7}{3}$.

B. $y=-x+\frac{7}{3}$.

C. $y=x-\frac{7}{3}$.

D. $y=\frac{7}{3}x$.

Câu 13. Số cặp điểm A, B trên đồ thị hàm số $y = x^3+3x^2+3x + 5$ mà tiếp tuyến tại $A,B$ vuông góc với nhau là:

A. $1$.

B. $2$.

C. $0$.

D. Vô số.

Câu 14. Qua điểm $A(0;2)$ có thể ké được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\text{ }(C)$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 15. Cho hàm số $y = x^3-3x^3+2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến với $\left( C \right)$ và có hệ số góc nhỏ nhất?

A. $y= -3x + 3$.

B. $y = 1$.

C. $y = -5x + 7$.

D. $y=-3x-3$.

Câu 16. Cho hai hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x\sqrt{2}}$ và $g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}$. Góc giữa hai tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số đă cho tại giao điểm của chúng là:

A. $60^0$.

B. $90^0$.

C. $45^0$.

D. $30^0$.

Câu 17. Tìm m để đồ thị: $\left( {{C}_{m}} \right):y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 4-3m \right)x+1$ tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $x+2y-3 = 0$.

A. $m\in \left( 0;\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right)$.

B. $m\in \left( 0;\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{1}{2};\frac{7}{3} \right)$.

C. $m\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\cup \left( \frac{1}{2};\frac{8}{3} \right)$.

D. $m\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\cup \left( \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right)$.

Câu 18. Cho hàm số $y =\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến này cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại A, B sao cho $OA = 4OB$.

A. $y =-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$ và $y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}$.

B. $y=-\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$ và $y=-\frac{1}{4}x-\frac{13}{4}$.

C. $y =-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$ và $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$.

D. $y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$ và $y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{2}$.

Câu 19. Cho hàm số $y = x^3 -3x^2 +m$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần luợt tại $A,B$ sao cho diện tích $\Delta AOB$ bằng $\frac{3}{2}$. Hỏi $m$ là giá trị nguyên nằm trong khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.

B. $(-\infty ;-5)\cup (1;+\infty )$.

C. $(-4;0)$.

D. $(-2;2)$.

Câu 20. Tìm $m$ để tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-mx+m-l$ tại điểm ${{x}_{0}}=1$ cắt đường tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=\frac{1}{5}$ theo cung có độ dài nhỏ nhất.

A. $m=1$ hoặc $m=2$.

B. $m=1$ hoặc $m=-\frac{5}{2}$.

C. $m=-3$ hoặc $m=-1$

D. $m=-1$ hoặc $m=3$.

Câu 21. Cho hàm số $y = x^3 +ax^2 +bx+c,c<0$ có đồ thị (C) cắt $Oy$ tại $A$ và có hai điểm chung với $Ox$ là $M,N$. Tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ đi qua $A$ . Tìm $T = a+b+c$ biết $S_{AMN} =1$.

A. $T=-1$.

B. $T = 2$.

C. $T = 5$.

D. $T=-3$.

Gợi ý lời giải

Câu 1. Đáp án B

${y}’=\frac{2}{x+1};{{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$

Phương trình tiếp tuyến tại $M(0;-1)$ là: $y=y'(0)(x-0)-1$  $y=2x-1$.

Câu 2. Đáp án A.

${y}’=\frac{1}{2\sqrt{x+2}};{{y}_{0}}=2\Rightarrow \sqrt{{{x}_{0}}+2}=2\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2$

Phương trình tiếp tuyến tại $M (2; 2)$ là $y = y'(2)(x-2)$  $y = \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$.

Câu 3. Đáp án C

${f}'(x)=\cos x$. Theo giả thiết $\Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{1}{2}$  $\cos {{x}_{0}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \text{Z}$

Do ${{x}_{0}}\in [0;2\pi ]\Rightarrow {{x}_{0}}=\frac{\pi }{3};{{x}_{0}}=\frac{5\pi }{3}$.

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

Câu 4. Đáp án B

${y}’=3{{x}^{2}}-2x\Rightarrow {y}’\left( 1 \right)=5$

Câu 5. Đáp án C

Giao điểm của $\left( C \right)$ với Ox là $A(2;0)$.

${y}’=\frac{-2}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}$

Phương trình tiếp tuyến tại $A(2;0)$ là :

$y={y}’\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+0\Leftrightarrow y=-2x+4$

Câu 6. Đáp án C

$y=3{{x}^{2}}-2$

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất $\Delta :y=x$

$\Rightarrow {y}’\left( {{x}_{0}} \right).1=-1\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-2=-2\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : $y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18-5\sqrt{3}}{9}$ và $y=-x-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18+5\sqrt{3}}{9}$

Câu 7. Đáp án A.

TXĐ: $D=R\backslash \left\{ 0 \right\}$ nên $\left( C \right)$ không giao với $Oy$.

$\left( C \right)$ giao với $Ox$ tại $M(1;0)$ nên phương trình tiếp tuyến là: $y={y}'(1)(x-1)=x-1$.

Câu 8. Đáp án B

Ta có: $y’ = 2x-6$ .

Phương trình tiếp tuyến song song với trục hoành

$y'(x_0) = 0$  $x_0=3$  $y_0=4$

Phương trình tiếp tuyến là: $y = -4$.

Câu 9. Đáp án C

TXĐ: $D=R\backslash \left\{ 0 \right\};{y}’=\frac{4}{{{x}^{2}}}$.

Theo giả thiết ${y}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( -1 \right)=-1\Leftrightarrow {y}’\left( {{x}_{0}} \right)=1\Leftrightarrow \frac{4}{x_{0}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=2 \\ & {{x}_{0}}=-2 \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=x-2$ và $y=x+6$

Câu 10. Đáp án D

${y}’=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.Đồ thị hàm số có tâm đối xứng $I(1;1)$.

Lấy điểm $A(x_0;y_0) \in (C)$, gọi B là điểm đối xứng với A qua I  $B(2-x_0; 2-y_0) \in (C)$. Ta có:

  •  Hệ số góc của phưong trình tại A là: ${{k}_{A}}={y}’\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{-2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$
  • Hệ số góc của phương trình tại B là: ${{k}_{B}}={y}’\left( 2-{{x}_{0}} \right)=\frac{-2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$

Ta thấy $k_A = k_B$ nên có vô số cặp điểm $A, B \in (C)$ mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

Câu 11. Đáp án D

Ta có ${y}’=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in (C)$ là : $y=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{1}{{{x}_{0}}-1}$ $(\Delta)$

$(\Delta)$ giao với $Ox:A\left( 2{{x}_{0}}-1;0 \right)$.

$(\Delta)$ giao với $Oy:B\left( 0;\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right)$.

${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB\Leftrightarrow {{\left( \frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{3}{4}\Rightarrow {{y}_{0}}=-4$

Vậy ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}=\frac{3}{4}-4=-\frac{13}{4}$.

Câu 12. Đáp án A.

$y’={{x}^{2}}+2x,y”=2x+2$

$y”\left( {{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}+2=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-\frac{4}{3}$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( -1;-\frac{4}{3} \right)$ là : $y=-x-\frac{7}{3}$.

Câu 13. Đáp án C

${y}’=3{{x}^{2}}+6x+3.$ Gọi $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ .

Tiếp tuyến tại $A,B$ lần lượt có hệ số góc là:

${{k}_{A}}=3x_{A}^{2}+6{{x}_{A}}+3,\,\,\,\,\,{{k}_{B}}=3x_{B}^{2}+6{{x}_{B}}+3$

Theo giả thiết: ${{k}_{A}}.{{k}_{B}}=-1$

$\Leftrightarrow \left( 3x_{A}^{2}+6{{x}_{A}}+3 \right)\left( 3x_{B}^{2}+6{{x}_{B}}+3 \right)=-1$

$\Leftrightarrow 9\left( x_{A}^{2}+2{{x}_{A}}+1 \right)\left( x_{B}^{2}+2{{x}_{B}}+1 \right)=-1$

$\Leftrightarrow 9{{\left( {{x}_{A}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}_{B}}+1 \right)}^{2}}=-1$ (Vô lý).

Vậy không tồn tại cặp điểm $A,B$ thỏa mãn.

Câu 14. Đáp án D

${y}’=4{{x}^{3}}-4x$ . Gọi ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ .

Phương trình tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}$ là:

$y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+2\,\,\,\left( \Delta \right)$

Vì $\Delta $ đi qua $A\left( 0;2 \right)$ nên: $2=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+2\,$

$\Leftrightarrow -3x_{0}^{4}+2x_{0}^{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=0 \\ & {{x}_{0}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \end{align} \right.$

Ứng với 3 hoành độ ${{x}_{0}}$ ta viết được 3 phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ .

Câu 15. Đáp án A.

${y}’=3{{x}^{2}}-6x$ . Gọi ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ .

Phương trình tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}$ là: $y={y}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ :

${y}’\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}=3{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}-3\Leftrightarrow {y}’\left( {{x}_{0}} \right)\ge -3$

Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là $-3$ khi ${{x}_{0}}=1$

$\Rightarrow {{y}_{0}}=0$ .

Phương trình tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}\left( 0;1 \right)$ là: $y=-3x+3$

Câu 16. Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{x\sqrt{2}}=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}={{x}^{2}}\Rightarrow x=1,\,\,\,x\ne 0$

$\Rightarrow $ giao điểm $M\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ .

Ta có ${f}’\left( 1 \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}};\,{g}'(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow {f}’\left( 1 \right).{g}’\left( 1 \right)=-1$

Vậy góc giữa 2 tiếp tuyến đó là ${{90}^{0}}$ .

Câu 17. Đáp án D

${y}’=m{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+4-3m$

Theo bài ra ${y}’.\left( -\frac{1}{2} \right)=-1\Leftrightarrow {y}’=2$

$\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2-3m=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta ‘ > 0\\ S > 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m \ne \frac{1}{2}\\ 0 < m < 1\\ 0 < m < \frac{2}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} hay{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} m \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\frac{2}{3}} \right).$

Câu 18. Đáp án A.

Phương trình tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ là:

$y=\frac{-x}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}+\frac{2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\ \left( \Delta \right)$

$\left( \Delta \right)$ giao với Ox tại $A\left( 2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1;0 \right).$

$\left( \Delta \right)$ giao với Oy tại $B\left( 0;\frac{2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right).$

$OA=4OB\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=3 \\ & {{x}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right.$

Từ đó ta được 2 phương trình tiếp tuyến là:

$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$ và $y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}.$

Câu 19. Đáp án A.

Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=m-2\Rightarrow M\left( 1;m-2 \right)$

Phương trình tiếp tuyến tại M là $\left( \Delta \right):y=-3x+m+1$

$\left( \Delta \right)$ giao với Ox tại $A\left( \frac{m+1}{3};0 \right).$

$\left( \Delta \right)$ giao với Oy tại $B\left( 0;m+1 \right).$

${{S}_{OAB}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}OA.OB=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\left| m+1 \right|}{3}.\left| m+1 \right|=3$

$\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-4 \\ & m=2 \\ \end{align} \right..$

Câu 20. Đáp án B

Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=0\Rightarrow M\left( 1;0 \right),\ {y}’=3{{x}^{2}}-m$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( 1;0 \right)$ là:

$\left( 3-m \right)x-y-3+m=0\ \ \left( \Delta \right)$

Đường tròn tâm $I\left( 2;3 \right)$ và bán kính $R=\frac{1}{\sqrt{5}}.$

Vì $IM>R$ nên độ dài cung nhỏ nhất khi $\left( \Delta \right)$ tiếp xúc với đường tròn tức là:

$d\left( I;\Delta \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| \left( 3-m \right).2-3-3+m \right|}{\sqrt{{{\left( 3-m \right)}^{2}}+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+3m-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=-\frac{5}{2} \\ \end{align} \right..$

Câu 21. Đáp án A.

Giả sử (C) cắt Ox tại $M\left( m;0 \right)$, $N\left( n;0 \right)$, cắt Oy tại $A\left( 0;c \right)$.

Tiếp tuyến tại M có phương trình:

$y=\left( 3{{m}^{2}}+2am+b \right)\left( x-m \right)\quad \left( \Delta \right)$

Tiếp tuyến $\left( \Delta \right)$ đi qua A nên

$3{{m}^{3}}+2a{{m}^{2}}+bm+c=0$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{3}}+a{{m}^{2}}=0\ \ \left( do\ {{m}^{3}}+a{{m}^{2}}+bm+c=0 \right)$

$\Leftrightarrow m=-\frac{a}{2}.$

Vì (C) cắt Ox tại 2 điểm nên (C) tiếp xúc với Ox (do tính chất đồ thị hàm bậc 3 học sinh sẽ được học rõ hơn lớp 12).

Nếu M là tiếp điểm $\Rightarrow Ox$ đi qua A (vô lý)

$\Rightarrow \left( C \right)$ tiếp xúc với $Ox$ tại N.

Do đó $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c={{\left( x-n \right)}^{2}}\left( x-m \right)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + 2n = – a\\ 2m.n + {n^2} = b\\ m.{n^2} = – c \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = – \frac{a}{2},n = – \frac{a}{4}\\ {a^3} = 32c\\ 5{a^2} = 16b \end{array} \right.\;\;\left( I \right)$

Mặt khác ${{S}_{\Delta AMN}}=1\Leftrightarrow -c.\left| n-m \right|=2\Leftrightarrow -c.\left| a \right|=8$

– Với $a>0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{3}}=32c \\ & ac=-8 \\ & 5{{a}^{2}}=16b \\ \end{align} \right.$ (vô nghiệm)

– Với $a < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 32c\\ ac = 8\\ 5{a^2} = 16b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 4\\ b = 5\\ c = – 2 \end{array} \right.$

$\Rightarrow T=a+b+c=-1.$

Qua bài viết này bạn đã biết thêm ứng dụng quan trọng của đạo hàm là tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số, một dạng toán quan trọng thuộc chương trình lớp 12 của khối THPT. Chúc bạn học tốt