Dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp $C_{n}^{k}$

Ngoài những ứng dụng của đạo hàm mà mình đã nêu ở bài trước thì không ít bạn biết được một ứng dụng tuyệt với của đạo. Đó là dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp. Nếu bạn chưa biết có thể xem bài viết ngay dưới đây

Dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp

1. Hướng dẫn dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp

Cách 1: Từ khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{n}}$ =$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}{{x}^{1}}+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$

Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở hai vế khai triển của nhị thức

Chọn $x={{x}_{0}}$ và chọn $n$ thích hợp.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính thay với một vài giá trị $n=1,~2,~\ldots $ và kiểm tra tính đúng sai ta đi đến việc lựa chọn đáp án

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+\ldots +nC_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}},n\in N.$

B. $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+\ldots +nC_{n}^{n}=\left( n+1 \right){{.2}^{n}},n\in N.$

C. $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+\ldots +nC_{n}^{n}=\left( n-1 \right){{.2}^{n-1}},~n~\in N.$

D. $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+\ldots +nC_{n}^{n}=\left( n+1 \right){{.2}^{n+1}},~n~\in N.$

Đáp án A

Lời giải

Cách 1: Xét $f\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}{{x}^{1}}+\ldots +C_{n}^{n}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}~\forall ~x\in R$

$f’\left( x \right)=n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}+2xC_{n}^{2}+\ldots +\left( n-1 \right){{x}^{n-2}}.C_{n}^{n-1}+n.{{x}^{n-1}}.C_{n}^{n}$

${{f}^{‘\left( 1 \right)}}=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+\ldots +\left( n-1 \right).C_{n}^{n-1}+n.C_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}}$.

Cách 2: Sử dụng MTCT

-Chọn với $n=1$: $C_{1}^{1}$$={{2}^{0}}=1$ (đúng)

-Chọn với $n=2$:$C_{2}^{1}+2C_{2}^{2}=2.2=4$ (đúng)

….

Từ việc thử đáp án ta được kết quả

Ví dụ 2. Tính tổng với $n\in N,~n~\ge 2:$

$S=1.2.C_{n}^{2}+2.3.C_{n}^{3}+…+(n-2).(n-1).C_{n}^{n-1}+(n-1).n.C_{n}^{n}$

A. $(n-1).(n-2){{.2}^{n-2}}$.

B. $n.(n-1){{.2}^{n-2}}$.

C. $n.(n-1){{.2}^{n-1}}$.

D. $(n-1).(n-2){{.2}^{n}}$.

Đáp án B

Lời giải

Cách 1: Xét hàm số$f(x)={{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}{{x}^{1}}+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$

Suy ra:

$f’\left( x \right)=n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}+2xC_{n}^{2}+\ldots +\left( n-1 \right){{x}^{n-2}}.C_{n}^{n-1}+n.{{x}^{n-1}}.C_{n}^{n}$

${f}”\left( x \right)=\left( n-1 \right).n.{{\left( 1+x \right)}^{n-2}}$

$=1.2.C_{n}^{2}+2.3.x.C_{n}^{3}+…+(n-2).(n-1){{x}^{n-3}}.C_{n}^{n-1}+(n-1).n.{{x}^{n-2}}.C_{n}^{n}$

$\begin{align} & {f}”\left( 1 \right)=1.2.C_{n}^{2}+2.3.C_{n}^{3}+\ldots +\left( n-2 \right).\left( n-1 \right).C_{n}^{n-1}+\left( n-1 \right).n.C_{n}^{n} \\ & =n\left( n-1 \right){{2}^{n-2}} \\ \end{align}$.

Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị $n\ge 2.$

  • Với $n=2$ $\Rightarrow $ $S=1.2.C_{2}^{2}={{2.1.2}^{1}}=2$ (đúng)
  • Với $n=3$ $\Rightarrow $ $S=1.2.C_{3}^{2}+2.3.C_{3}^{3}=3.2.2=12$ (đúng)

So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả.

STUDY TIP

Nếu trong biểu thức thiếu 2 số hạng đầu tiên hoặc 2 số hạng cuối cùng của khai triển nhị thức đồng thời các hệ số là tích của 2 số tự nhiên lien tiếp ta dung đạo hàm cấp 2.

Ví dụ 3. Tính tổng $S=C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+…+(n+1)C_{n}^{n}$ bằng

A. $n{{.2}^{n-1}}$.

B. $(n+1){{.2}^{n-1}}$.

C. $(n+2){{.2}^{n-1}}$.

D. $(n+1){{.2}^{n}}$.

Đáp án C

Lời giải

Cách 1: Ta có: ${{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}{{x}^{1}}+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$ $\forall ~x~\in R$

Nhân 2 vế với $x$ ta được: $x{{(1+x)}^{n}}=x.C_{n}^{0}+{{x}^{2}}.C_{n}^{1}+{{x}^{3}}.C_{n}^{2}+…+{{x}^{n}}.C_{n}^{n-1}+{{x}^{n+1}}.C_{n}^{n}$

Lấy đạo hàm 2 vế ta được : ${{(1+x)}^{n}}+nx{{(1+x)}^{n-1}}=C_{n}^{0}+2x.C_{n}^{1}+3{{x}^{2}}.C_{n}^{2}+…+(n+1){{x}^{n}}.C_{n}^{n}$

Thay $x=1$ ta được: $S=C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+…+(n+1)C_{n}^{n}={{2}^{n}}+n{{.2}^{n-1}}=(n+2){{.2}^{n-1}}.$

Cách 2: Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại)

STUDY TIP

Nếu trong khai triển nhị thức vẫn có số hạng đầu hoặc số hạng cuối và hệ số tăng thêm 1 đơn vị thì ta nhân 2 vế với x và sau đó dùng đạo hàm cấp 1.

Ví dụ 4. Tìm số nguyên dương $n$ sao cho:

$C_{2n+1}^{1}-2.2.C_{2n+1}^{2}+{{3.2}^{2}}.C_{2n+1}^{3}-{{4.2}^{3}}.C_{2n+1}^{4}+…+(2n+1){{.2}^{2n}}.C_{2n+1}^{2n+1}=2017$

A. $n=1005$.

B. $n=1006$.

C. $n=1007$.

D. $n=1008$.

Đáp án D

Lời giải

Với $\forall x\in R$ ta có: ${{\left( 1+x \right)}^{2n+1}}=C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}.{{x}^{1}}+C_{2n+1}^{2}.{{x}^{2}}+C_{2n+1}^{3}.{{x}^{3}}+…+C_{2n+1}^{2n+1}.{{x}^{2n+1}}$

Lấy đạo hàm hai vế theo $x$ ta được:

$\left( 2n+1 \right){{\left( 1+x \right)}^{2n}}=C_{2n+1}^{1}+2x.C_{2n+1}^{2}+3{{x}^{2}}.C_{2n+1}^{3}+…+\left( 2n+1 \right).{{x}^{2n}}.C_{2n+1}^{2n+1}$ $\left( 1 \right)$

Thay $x=-2$ vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$2n+1=C_{2n+1}^{1}-2.2.C_{2n+1}^{2}+{{3.2}^{2}}.C_{2n+1}^{3}-4.2.C_{2n+1}^{4}+…+\left( 2n+1 \right).{{x}^{2n}}.C_{2n+1}^{2n+1}$

Từ yêu cầu bài toán ta có : $2n+1=2017\Leftrightarrow n=2018$.

STUDY TIP

Nhận biết được cần sử dụng đạo hàm cấp $1$ và chọn giá trị $x={{x}_{0}}$ dựa vào cơ số ${{a}^{n}}$ với chỉ số $n$ tăng dần.

Ví dụ 5: Tính tổng: $S=100.C_{100}^{0}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{99}}-101.C_{100}^{1}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{100}}+…+199.C_{100}^{0}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{198}}+200.C_{100}^{100}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{199}}$

A.$10$.

B.$0$.

C.$1$.

D.$100$.

Đáp án B

Lời giải

Xét $f\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{100}}={{x}^{100}}{{\left( 1+x \right)}^{100}}$

$={{x}^{100}}\left( C_{100}^{0}+C_{100}^{1}x+C_{100}^{2}{{x}^{2}}+C_{100}^{100}{{x}^{100}} \right)$

$=C_{100}^{0}.{{x}^{100}}+C_{100}^{1}.{{x}^{101}}+C_{100}^{2}{{x}^{102}}+…+C_{100}^{100}{{x}^{200}}$

$\Rightarrow f’\left( x \right)=100\left( 2x+1 \right).{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{99}}$

$=100{{x}^{99}}.C_{100}^{0}+101{{x}^{100}}.C_{100}^{1}+102{{x}^{101}}.C_{100}^{2}+…+200{{x}^{199}}C_{100}^{100}$

Lấy $x=-\frac{1}{2}$ ta được:

$0=-100{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{99}}C_{100}^{0}+101{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{100}}C_{100}^{1}-…-200{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{199}}C_{100}^{100}\Leftrightarrow S=0$.

STUDY TYP

Xuất phát từ nhị thức ${{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{100}}$, sau khi dùng đạo hàm cấp $1$, chọn ${{x}_{0}}=-\frac{1}{2}$.

3. Bài tập có gợi ý

Bài tập

Câu 1. Tính tổng $S=C_{n}^{1}-2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}.n.C_{n}^{n}$.

A.$0$.

B.$1$ .

C.$10$.

D.$100$.

Câu 2. Tính tổng: $S={{1.2}^{999}}C_{1000}^{1}+{{2.2}^{998}}C_{1000}^{2}+…+{{1000.2}^{0}}C_{1000}^{1000}$.

A.${{1000.2}^{999}}$.

B.${{999.3}^{1000}}$.

C.${{1000.3}^{999}}$.

D.${{999.3}^{999}}$.

Câu 3. Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn: $1.C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}+3.C_{n}^{3}+…+n.C_{n}^{n}=11264$.

A.$n=9$.

B.$n=10$.

C.$n=11$.

D.$n=12$.

Câu 4. $S={{1}^{2}}.C_{2000}^{1}+{{2}^{2}}.C_{2000}^{2}+{{3}^{2}}.C_{2000}^{3}+…+{{2000}^{2}}.C_{2000}^{2000}$ .

A.${{2000.2001.2}^{1998}}$.

B.${{1999.2000.2}^{1999}}$.

C.${{2000.2001.2}^{1999}}$.

D.${{2000.2001.2}^{2000}}$.

Câu 5. Tính tổng: $S={{2.1.3}^{0}}.C_{200}^{2}-{{3.2.3}^{1}}.C_{200}^{3}+{{4.3.3}^{2}}.C_{200}^{4}-…+{{200.199.3}^{198}}.C_{200}^{200}$ .

A.${{200.199.2}^{199}}$ .

B.${{199.198.2}^{200}}$.

C.${{200.199.2}^{198}}$.

D.${{199.198.2}^{199}}$.

Câu 6. Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn: $1.C_{n}^{0}+2.C_{n}^{1}+3.C_{n}^{2}+…+n.C_{n}^{n-1}+\left( n+1 \right).C_{n}^{n}\le 1024\left( n+2 \right)$.

A.$n\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 \right\}$.

B.$n\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$.

C.$n\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.

D.$n\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.

Câu 7. Tính tổng: $S={{2.2}^{1}}.C_{100}^{2}+{{4.2}^{3}}.C_{100}^{4}+{{6.2}^{5}}.C_{100}^{6}+…+{{100.2}^{99}}.C_{100}^{100}$.

A.$50\left( {{3}^{99}}+1 \right)$.

B.$100\left( {{3}^{98}}+1 \right)$.

C.$200\left( {{3}^{99}}+1 \right)$.

D.$25\left( {{3}^{200}}+1 \right)$.

Câu 8. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.$\frac{1}{{{2}^{0}}}C_{n}^{1}+\frac{2}{{{2}^{1}}}C_{n}^{2}+\frac{3}{{{2}^{2}}}C_{n}^{3}+…+\frac{n}{{{2}^{n-1}}}C_{n}^{n}=\left( n-1 \right){{\left( \frac{3}{2} \right)}^{n}}$.

B.$n{{.3}^{0}}.C_{n}^{n}+\left( n-1 \right){{3}^{1}}.C_{n}^{n-1}+\left( n-2 \right){{3}^{2}}.C_{n}^{n-2}+…+{{1.3}^{n-1}}.C_{n}^{1}=\left( n+1 \right){{.4}^{n-1}}$.

C.$2.C_{2n+1}^{2}+4.C_{2n+1}^{4}+6.C_{2n+1}^{6}+…+2n.C_{2n+1}^{2n}=\left( 2n+1 \right){{2}^{2n-1}}$.

D.$1.C_{2n}^{1}+3.C_{2n}^{3}+5.C_{2n}^{5}+…+\left( 2n-1 \right).C_{2n}^{2n-1}=2n{{.2}^{2n+1}}$.

Gợi ý

Câu 1. Đáp án A.

Từ nhị thức ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}{{x}^{1}}+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n}{{x}^{n}}\,\,\,\left( * \right)$ lấy đạo hàm hai vế:

$n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}+2xC_{n}^{2}+3{{x}^{2}}C_{n}^{3}+…+n{{x}^{n-1}}C_{n}^{n}\,\,\,\left( ** \right)$.

Thay $x=-1$ ta được $S=C_{n}^{1}-2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}-…-{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n}=0$.

Câu 2. Đáp án C

Xét khai triển nhị thức ${{\left( 1+x \right)}^{n}}$. Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được $n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}+2xC_{n}^{2}+3{{x}^{2}}C_{n}^{3}+…+n{{x}^{n-1}}C_{n}^{n}$

Cho $x=2$ ta được $S=n{{3}^{n-1}}$.

Với $n=1000$ ta được $S={{1000.3}^{999}}$

Câu 3. Đáp án C

Xét khai triển nhị thức ${{\left( 1+x \right)}^{n}}$. Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được $n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}+2xC_{n}^{2}+3{{x}^{2}}C_{n}^{3}+…+n{{x}^{n-1}}C_{n}^{n}$

Cho $x=1$ ta được $1C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+nC_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}}=11264\Rightarrow n=11$

Câu 4. Đáp án A.

Xét $S={{1}^{2}}C_{n}^{1}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}+{{3}^{2}}C_{n}^{3}+…+{{n}^{2}}C_{n}^{n}$$=\,1\left( 2-1 \right)C_{n}^{1}+2\left( 3-1 \right)C_{n}^{2}+…+n\left( n+1-1 \right)C_{n}^{n}$

$\begin{align} & \,\,\,\,=\,\left[ 1.2.C_{n}^{1}+2.3C_{n}^{2}+3.4C_{n}^{3}+…+n\left( n+1 \right)C_{n}^{n} \right]-\,\left[ 1C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+nC_{n}^{n} \right] \\ & \,\,\,\,=\,A-B \\ \end{align}$

Từ câu 3 thì $B=n{{2}^{n-1}}$

Xét khai triển $x{{\left( 1+x \right)}^{n}}=x.C_{n}^{0}+{{x}^{2}}.C_{n}^{1}+{{x}^{3}}.C_{n}^{2}+…+{{x}^{n+1}}.C_{n}^{n}$

Lấy đạo hàm hai vế: ${{\left( 1+x \right)}^{n}}+nx{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{0}+2x.C_{n}^{1}+3{{x}^{2}}.C_{n}^{2}+…+\left( n+1 \right){{x}^{n}}.C_{n}^{n}$

Tiếp tục lấy đạo hàm ta có:

$\begin{align} & n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}+n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}+n\left( n-1 \right)x{{\left( 1+x \right)}^{n-2}} \\ & =1.2.C_{n}^{1}+2.3{{x}^{1}}.C_{n}^{2}+…+n\left( n+1 \right){{x}^{n-1}}.C_{n}^{n} \\ \end{align}$

Cho $x=1\Rightarrow A=2n{{.2}^{n-1}}+n\left( n-1 \right){{.2}^{n-2}}\Rightarrow S=n\left( n+1 \right){{.2}^{n-2}}$

Với $n=2000\Rightarrow S={{2000.2001.2}^{1998}}$.

Câu 5. Đáp án C

Từ khai triển ${{\left( 1-x \right)}^{200}}$ lấy đạo hàm đến cấp 2 hai vế, sau đó thay $x=3$ ta được $S={{200.199.2}^{198}}$.

Câu 6. Đáp án A.

Từ ví dụ 3 – Dạng 3. Phần lý thuyết ta có: $1.C_{n}^{0}+2.C_{n}^{1}+3.C_{n}^{2}+…+\left( n+1 \right).C_{n}^{n}=\left( n+2 \right){{2}^{n-1}}$.

Theo yêu cầu của bài toán $\Rightarrow \left( n+2 \right){{.2}^{n-1}}\le 1024.\left( n+2 \right)\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}\le 1024={{2}^{10}}\Leftrightarrow n\le 11,\,n\in \mathbb{N}$. Vậy chọn A.

Câu 7. Đáp án A.

Khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{100}}$ và lấy đạo hàm cấp 1.

Khai triển ${{\left( 1-x \right)}^{100}}$ và lấy đạo hàm cấp 1.

Cộng vế với vế và thay $x=2$ ta được $S=50\left( {{3}^{99}}+1 \right)$

Câu 8. Đáp án C

Cách 1: Khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{2n+1}}$ và lấy đạo hàm cấp 1.

Khai triển ${{\left( 1-x \right)}^{2n+1}}$ và lấy đạo hàm cấp 1.

Cộng vế với vế và thay $x=1$ ta được kết quả đáp án C.

Cách 2: Thử với $n=1,\,2$và các đáp án thì ta được kết quả đáp án C đúng

Trên đây là một trong những ứng dụng tuyệt vời của đạo hàm cấp cao. Hy vọng bài viết này đã giúp ích bạn khi học chủ đề này. Chúc bạn học tốt.