Cách đạo hàm lượng giác

Đạo hàm lượng giác là một trong những kiến thức quan trọng của chủ đề đạo hàm. Để học tốt nó đòi hỏi bạn cần có kiến thức lượng giác cơ bản. Nên trước khi xem bài này bạn nên ôn tập qua kiến thức lượng giác để nhớ những công thức căn bản và những biến đổi cần nhớ. Nếu bạn đã tự tin nhớ những kiến thức này hãy bắt đầu nào.

đạo hàm của hàm lượng giác

1. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Dưới đây là những đạo hàm lượng giác cần nhớ

Đạo hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Câu 1: Hàm số $y=\cos x.{{\sin }^{2}}x$ có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

A. $\sin x\left( 3{{\cos }^{2}}x+1 \right)$.

B. $\sin x\left( 3{{\cos }^{2}}x-1 \right)$.

C. $\sin x\left( {{\cos }^{2}}x-1 \right)$.

D. $\sin x\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)$.

Lời giải

Đáp án B.

${y}’=2\sin x.{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{3}}x=\sin x\left( 3{{\cos }^{2}}x-1 \right)$.

Câu 2: Hàm số $y=\frac{1}{2}{{\left( 1+\tan x \right)}^{2}}$ có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

A. ${{\left( 1+\tan x \right)}^{2}}$.

B. $1+{{\tan }^{2}}x$.

C. $\left( 1+\tan x \right)\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)$.

D. $1+\tan x$.

Lời giải

Đáp án C.

${y}’=\left( 1+\tan x \right){{\left( 1+\tan x \right)}^{\prime }}=\left( 1+\tan x \right)\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)$.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số $y=\frac{\cos x}{2{{\sin }^{2}}x}$ là biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{1+{{\sin }^{2}}x}{2{{\sin }^{3}}x}$.

B. $-\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{2{{\sin }^{3}}x}$.

C. $\frac{1+{{\sin }^{2}}x}{2{{\sin }^{3}}x}$.

D. $\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{2{{\sin }^{3}}x}$.

Lời giải

Đáp án B.

${y}’=\frac{-{{\sin }^{3}}x-2\sin x.\cos x.\cos x}{2{{\sin }^{4}}x}=-\frac{{{\sin }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}x}{2{{\sin }^{3}}x}=-\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{2{{\sin }^{3}}x}$.

Câu 4: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{\cos x}{1-\sin x}$. Giá trị của ${f}’\left( \frac{\pi }{6} \right)-{f}’\left( -\frac{\pi }{6} \right)$ là

A. $\frac{4}{3}$.

B. $\frac{4}{9}$.

C. $\frac{8}{9}$.

D. $\frac{8}{3}$.

Lời giải

Đáp án A.

Ta có: ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{1-\sin x}\Rightarrow {f}’\left( \frac{\pi }{6} \right)-{f}’\left( -\frac{\pi }{6} \right)=\frac{4}{3}$.

3. Bài tập đạo hàm lượng giác

Bài tập

Câu 5: Hàm số $y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}$ có ${y}’=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}}$. Hỏi $T=a+b+c$ bằng:

A. $1$.

B. $2$.

C. $0$.

D. $-1$.

Câu 6: Cho hàm số $y=\cos 2x.{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}$. Xét hai kết quả:

(I) ${y}’=-2\sin 2x.{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\sin x.\cos 2x$ (II) ${y}’=2\sin 2x.{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin x.\cos 2x$.

Cách nào đúng?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả 2 đều đúng.

D. Không có cách nào.

Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y={{\cot }^{2}}\left( \cos x \right)+\sqrt{\sin x-\frac{\pi }{2}}$ là biểu thức nào sau đây?

A. $-2\cot \left( \cos x \right)\frac{1}{{{\sin }^{2}}\left( \cos x \right)}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x-\frac{\pi }{2}}}$.

B. $2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x – \frac{\pi }{2}} }}$.

C. $-2\cot \left( \cos x \right)\frac{1}{{{\sin }^{2}}\left( \cos x \right)}+\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x-\frac{\pi }{2}}}$.

D. $2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x – \frac{\pi }{2}} }}$

Câu 8: Đạo hàm của hàm số $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$ là biểu thức nào sau đây?

A. $\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)$.

B. $\left( x\cos x+\sin x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)$.

C. $\left( x\sin x-\cos x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)$.

D. $\left( x\sin x+\cos x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)$.

Câu 9: Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{\left| \sin x \right|}$ là biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{-\cot x}{\left| \sin x \right|}$.

B. $\frac{\cot x}{\left| \sin x \right|}$.

C. $\frac{\cot x}{\sin x}$.

D. $\frac{-\cot x}{\sin x}$.

Câu 10: Cho hàm số $y=\sin \left( {{\cos }^{2}}x \right).\cos \left( {{\sin }^{2}}x \right)$. Đạo hàm ${y}’=a.\sin 2x.\cos \left( \cos 2x \right)$. Giá trị của $a$ là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( 0;2 \right)$.

B. $\left( -1;5 \right)$.

C. $\left( -3;2 \right)$.

D. $\left( 4;7 \right)$.

Câu 11: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm với mọi $x$ và thỏa mãn $f\left( 2x \right)=4\cos x.f\left( x \right)-2x$. Tính ${f}’\left( 0 \right)$.

A. ${f}’\left( 0 \right)=0$.

B. ${f}’\left( 0 \right)=1$.

C. ${f}’\left( 0 \right)=-2$.

D. ${f}’\left( 0 \right)=3$.

Câu 12: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}$. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác ${f}’\left( x \right)=0$ trên đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt?

A. 1 điểm.

B. 2 điểm.

C. 4 điểm.

D. 6 điểm.

Câu 13: Cho hàm số $y=\cot 2x$. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. ${y}’+2{{y}^{2}}+2=0$.

B. ${y}’-2{{y}^{2}}-2=0$.

C. ${y}’+3{{y}^{2}}+5=0$.

D. ${y}’+3{{y}^{2}}+7=0$.

Câu 14: Tìm số nguyên dương $n$ sao cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^n}.\sin \frac{1}{x}\,\,\,khi\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0 \end{array} \right.$ có đạo hàm trên R.

A. $n=1$.

B. $n=2$.

C. $n\ge 2$.

D. $n=3$.

Câu 15: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+\sin 2x$. Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của ${f}’\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.

A. $m=-\sqrt{2}$, $M=\sqrt{2}$.

B. $m=-1$, $M=1$.

C. $m=-2$, $M=2$.

D. $m=-\sqrt{5}$, $M=\sqrt{5}$.

Câu 16: Cho hàm số $f\left( x \right)=-\cos x+\sin x-\cos 2x$. Phương trình ${f}’\left( x \right)=1$ tương đương với phương trình nào sau đây?

A. $\sin x=0$.

B. $\sin x-1=0$.

C. $\left( \sin x-1 \right)\left( \cos x-1 \right)=0$.

D. $\cos x=0$.

Câu 17: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x$. Tập giá trị của hàm số ${f}’\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ là:

A. $\left[ -4;4 \right]$.

B. $\left[ -2;2 \right]$.

C. $\left[ -1;1 \right]$.

D. $\left[ -3;3 \right]$.

Câu 18: Cho hàm số $f\left( x \right)=2\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}+{{\sin }^{3}}x-2\cos x-3\sin x$. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác ${f}’\left( x \right)$ trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

A. 1 điểm.

B. 2 điểm.

C. 4 điểm.

D. 6 điểm.

Câu 19: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đạo hàm là ${{\sin }^{2}}x$?

A. $y=\frac{{{\sin }^{3}}x}{3}$.

B. $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x$.

C. $y=x-\frac{{{\sin }^{3}}x}{3}$.

D. $y=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x$.

Câu 20: Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn bằng $0$?

A. $y=1-{{\sin }^{2}}x$.

B. $y={{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x$.

C. $y={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x$.

D. $y=\cos 2x$.

Câu 21: Hàm số nào sau đây có đạo hàm ${y}’=x.\sin x$?

A. $y=x\cos x$.

B. $y=x\cos x-\sin x$.

C. $y=\sin x-x\cos x$.

D. $y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}.\sin x$.

Câu 22: Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt[3]{\cos 2x}$. Chọn câu sai:

A. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=-1$.

B. ${f}’\left( x \right)=\frac{-2\sin 2x}{3\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}}$.

C. ${f}’\left( \frac{\pi }{2} \right)=1$.

D. $3{{y}^{2}}.{y}’+2\sin 2x=0$.

Câu 23: Cho hàm số $y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}}}$ với $x\in \left( 0;\,\pi \right)$ có ${y}’$ là biểu thức có dạng $a.\sin \frac{x}{8}$. Khi đó $a$ nhận giá trị nào sau đây:

A. $\frac{1}{4}$.

B. $-\frac{1}{4}$.

C. $\frac{1}{8}$.

D. $-\frac{1}{8}$.

Câu 24: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)$$+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-2{{\sin }^{2}}x$ . Hàm số có ${f}’\left( x \right)$ bằng:

A. $6$.

B. $2\sin 2x$.

C. $0$.

D. $2\cos 2x$.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 5: Đáp án A.

$\begin{array}{l} y’ = \frac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) – x\cos x\left( {\sin x – x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} \end{array}$

$\Rightarrow a=1$, $b=0$, $c=0$.

Vậy $T=a+b+c=1$.

Câu 6: Đáp án D.

${y}’=-2\sin 2x.{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin x.\cos 2x$.

Câu 7: Đáp án B.

$\begin{array}{l} y’ = 2\cot \left( {\cos x} \right){\left[ {\cot \left( {\cos x} \right)} \right]^\prime } + \frac{{{{\left( {\sin x – \frac{\pi }{2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {\sin x – \frac{\pi }{2}} }}\\ = 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x – \frac{\pi }{2}} }} \end{array}$

Câu 8: Đáp án A.

$\begin{array}{l} y’ = \frac{{x.\cos x – \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x – x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \left( {x.\cos x – \sin x} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) \end{array}$.

Câu 9: Đáp án A.

Ta có: $y=\frac{1}{\sqrt{{{\sin }^{2}}x}}$ nên ${y}’=\frac{-2\sin x.\cos x}{{{\sin }^{2}}x.\sqrt{{{\sin }^{2}}x}}=-\frac{\cot x}{\left| \sin x \right|}$.

Câu 10: Đáp án C

Câu 41. Đáp án B.

Lấy đạo hàm $2$ vế ta có: $2{f}’\left( 2x \right)-4\sin x.f\left( x \right)+4\cos x.{f}’\left( x \right)-2$

Câu 42. Đáp án B.

${f}’\left( x \right)=\frac{-\sin x.\sqrt{\cos 2x}-\cos x\frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}}\left( -\sin 2x \right)}{\cos 2x}=\frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos 2x}}$

Ta biểu diễn được $2$ điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.

Câu 43. Đáp án A.

${y}’=-2\left( 1+{{\cot }^{2}}2x \right)$. Do đó: ${y}’+2{{y}^{2}}+2=-2\left( 1+{{\cot }^{2}}2x \right)+2{{\cot }^{2}}2x+2=0$

Câu 44. Đáp án C.

Câu 45. Đáp án D.

Câu 46. Đáp án C.

${f}’\left( x \right)=1\Leftrightarrow \sin x+\cos x+2\sin 2x=1$

Đặt $t=\sin x+\cos x\text{ }\left( \left| t \right|\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin 2x={{t}^{2}}-1$

Khi đó phương trình $\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}+t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=1 \\ t=-\frac{3}{2}\text{ }\left( l \right) \\ \end{matrix} \right.$

Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình $\left( \sin x-1 \right)\left( \cos x-1 \right)=0$.

Câu 47. Đáp án B.

${f}’\left( x \right)=-2\sin 2x\Rightarrow -2\le f\left( x \right)\le 2$

Vậy tập giá trị của hàm số ${f}’\left( x \right)$ là $\left[ -2;2 \right]$.

Câu 48. Đáp án B.

${f}’\left( x \right)=2{{\sin }^{3}}x-3{{\cos }^{3}}x$

${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \tan x=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$.

Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Câu 49. Đáp án D.

Câu 50. Đáp án C.

$y={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\Rightarrow {y}’=0\text{ }\forall x$.

Câu 51. Đáp án C.

$y=\sin x-\cos x\Rightarrow {y}’=\cos x-\left( \cos x-x\sin x \right)=x\sin x$

Câu 52. Đáp án C.

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\cos 2x}} \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = \cos 2x\\ \Rightarrow 3.{f^2}\left( x \right).f’\left( x \right) = {\left( {\cos 2x} \right)^\prime }\\ \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{ – 2\sin 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}} \end{array}$

Nên B đúng. Vì $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt[3]{\cos \pi }=-1$ nên C sai.

Câu 53. Đáp án D.

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}=\sqrt{{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}=\cos \frac{x}{2}$

Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: $y=\sqrt{{{\cos }^{2}}\frac{x}{8}}=\cos \frac{x}{8}\Rightarrow {y}’=-\frac{1}{8}\sin \frac{x}{8}$

Câu 54. Đáp án C.

$\begin{array}{l} f’\left( x \right) = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 2x} \right) – \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} – 2x} \right) – \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) – 2\sin 2x\\ = – 2\cos \frac{{2\pi }}{3}.\sin 2x – 2\cos \frac{{4\pi }}{3}.\sin 2x – 2\sin 2x = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} – 1} \right)2\sin 2x = 0 \end{array}$

Vậy là ta đã kết thúc bài viết chia sẻ về đạo hàm lượng giác. Hy vọng bài viết này HsMath đã giúp bạn hiểu hơn về đạo hàm.

Trong bài học tới ta sẽ bàn tới đạo hàm cấp cao do nhà toán học Leibniz tìm ra. Bạn nhớ quay lại theo dõi nha

Chúc bạn học tốt.