Đạo hàm lớp 11

Vào cuối học kì II, học sinh lớp 11 sẽ được học lý thuyết đạo hàm, Nó là kiến thức quan trọng giúp bạn giải những bài toán khảo sát hàm số lớp 12 tốt hơn, ngoài ra nó có nhiều ứng dụng thực tế khác và những điều đó sẽ được nói ở bài sau. Trong bài viết này ta chỉ bàn tới khái niệm đạo hàm. Hãy cùng HsMath tìm hiểu.

Đạo hàm là gì

1. Đạo hàm là gì?

1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\left( a;b \right)$ và ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$.

Kí hiệu: ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)$ hoặc ${y}’\left( {{x}_{0}} \right)$. Vậy ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$.

STUDY TIP

Nếu $\Delta x=x-{{x}_{0}}$ và $\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$ thì ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

  •  $\Delta x$ gọi là số gia của đối số tại điểm ${{x}_{0}}$.
  •  $\Delta y$ gọi là số gia của hàm số tương ứng.

1.2 Đạo hàm bên trái, bên phải

a) Đạo hàm bên trái

${f}’\left( x_{0}^{-} \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$ trong đó $x\to x_{0}^{-}$ được hiểu là $x\to {{x}_{0}}$ và $x<{{x}_{0}}$. b) Đạo hàm bên phải. ${f}’\left( x_{0}^{+} \right)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$ trong đó $x\to x_{0}^{+}$ được hiểu là $x\to {{x}_{0}}$ và $x>{{x}_{0}}$.

Nhận xét: Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ $\Leftrightarrow {f}’\left( x_{0}^{+} \right)$ và ${f}’\left( x_{0}^{-} \right)$ tồn tại và bằng nhau. Khi đó ${f}’\left( x_{0}^{+} \right)={f}’\left( x_{0}^{-} \right)={f}’\left( {{x}_{0}} \right)$.

1.3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a) Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $\left( a;b \right)$ nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

b) Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên đoạn $\left[ a;b \right]$ nếu có đạo hàm trên khoảng $\left( a;b \right)$ và có đạo hàm phải tại $a$ và đạo hàm trái tại $b$.

1.4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số

– Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì nó liên tục tại điểm đó.

STUDY TIP

  •  Hàm số liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
  • Hàm số không liên tục tại ${{x}_{0}}$ thì không có đạo hàm tại điểm đó.

2. Các dạng toán tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ bằng định nghĩa.

Cách 1:

  • Tính $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ (1).
  • Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$.

Cách 2: Tính theo số gia

  • Cho ${{x}_{0}}$ một số gia$\Delta x$ : $\Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow \Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$.
  • Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
  • Tính giới hạn $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm

  • Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$$\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,=0$.
  • Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ $\Rightarrow $$y=f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$.
  • Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$chưa chắc có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}$. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}=1$.

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $2\sqrt{2}$ .

D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Lời giải

Đáp án A.

Cách 1: Xét $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{2} \right)}$$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Cách 2:

$\Delta y=f\left( \Delta x+1 \right)-f\left( 1 \right)=\sqrt{\Delta x+2}-\sqrt{2}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{\Delta x+2}-\sqrt{2}}{\Delta x}$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {\Delta x + 2} – \sqrt 2 }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta x\left( {\sqrt {2 + \Delta x} + \sqrt 2 } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {2 + \Delta x} + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \end{array}$

STUDY TIP

Nhân lượng liên hợp: $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ và $\sqrt{a}-b=\frac{a-{{b}^{2}}}{\sqrt{a}+b}$.

Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.

Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+5x-3$ tại điểm ${{x}_{0}}=2$, một học sinh đã tính theo các bước sau:

  • Bước 1: $f\left( x \right)-f\left( 2 \right)=f\left( x \right)-11$.
  • Bước 2: $\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\frac{{{x}^{2}}+5x-3-11}{x-2}=\frac{\left( x-2 \right)\left( x+7 \right)}{x-2}=x+7$.
  • Bước 3: $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x+7 \right)=9$. Vậy ${f}’\left( 2 \right)=9$.

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào.

A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3 .

D. Tính toán đúng.

Lời giải

Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng.

STUDY TIP

Phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=0$.

Ví dụ 3. Số gia của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ ứng với số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${{x}_{0}}=-1$ là:

A. ${{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2\Delta x-1$.

B. ${{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2\Delta x+2$.

C. ${{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2\Delta x$ .

D. ${{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2\Delta x$.

Lời giải

Đáp án D

Với số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại điểm ${{x}_{0}}=-1$, ta có: $\Delta y={{\left( -1+\Delta x \right)}^{2}}-1={{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2\Delta x$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-x$, đạo hàm của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${{x}_{0}}$ là:

A. $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2{{x}_{0}}.\Delta x-\Delta x \right)$.

B. $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2{{x}_{0}}-1 \right)$.

C. $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2{{x}_{0}}+1 \right)$ .

D. $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2{{x}_{0}}.\Delta x+\Delta x \right)$.

Lời giải

Đáp án B

$\begin{array}{l} \Delta y = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} – \left( {{x_0} + \Delta x} \right) – \left( {x_0^2 – {x_0}} \right)\\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x – \Delta x\\ \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2{x_0} – 1} \right) \end{array}$

Ví dụ 5. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đao hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ là ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)$. Khẳng định nào sau đây là sai.

A. ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$.

B. ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}$.

C. ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}$ .

D. ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+{{x}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$.

Lời giải

Đáp án D

* A đúng theo định nghĩa.

* B đúng vì $\Delta x=x-{{x}_{0}}$ nên $x\to {{x}_{0}}\Rightarrow \Delta x\to 0$.

* C đúng. Đặt $h=\Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=h+{{x}_{0}}$, $h\to 0$ khi $x\to {{x}_{0}}$.

${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}$$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}$.

* Vậy D sai.

Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm đó .

(3) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ gián đoạn tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì chắc chắn $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại điểm đó .

Trong ba mệnh trên:

A. (1) và (3) đúng.

B. (2) đúng.

C. (1) và (2) đúng .

D. (2) và (3) đúng.

Lời giải

Đáp án A.

Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| x \right|$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, nhưng ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=1$ và $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=-1$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

STUDY TIP

  • Khi $x\to {{0}^{+}}\Rightarrow x>0$ nên $\left| x \right|=x$.
  • Khi $x\to {{0}^{-}}\Rightarrow x<0$ nên $\left| x \right|=-x$.

Ví dụ 7. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+\left| x+1 \right|}{x}$. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.

A. $2$.

B. $1$.

C. $0$ .

D. Không tồn tại.

Lời giải

Đáp án D

Hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=-1$.

Ta có $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -1 \right)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x\left( x+1 \right)}=0$ (1).

$\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -1 \right)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x\left( x+1 \right)}=2$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ hàm số không có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.

STUDY TIP

Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}\Leftrightarrow {f}’\left( x_{0}^{+} \right)={f}’\left( x_{0}^{-} \right)={f}’\left( {{x}_{0}} \right)$

Ví dụ 8. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 3 – \sqrt {4 – x} & khi\,x \ne 0\\ 1 & & khi\,x = 0 \end{array} \right.$. Khi đó ${f}’\left( 0 \right)$ là kết quả nào sau đây?

A. $\frac{1}{4}$.

B. $\frac{1}{16}$.

C. $\frac{1}{2}$ .

D. $2$.

Lời giải

Đáp án A.

Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{4}$.

Ví dụ 9. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x & khi\,x > 1\\ {x^2} & khi\,x \le 1 \end{array} \right.$. Khi đó ${f}’\left( 1 \right)$ là kết quả nào sau đây.

A. $\frac{1}{2}$.

B. $1$.

C. $2$ .

D. ${f}’\left( 1 \right)$ không tồn tại.

Lời giải

Đáp án D

Ta có: $f\left( 1 \right)={{1}^{2}}=1$.

${f}’\left( {{1}^{+}} \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$ và ${f}’\left( {{1}^{-}} \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=2$.

Vì $f’\left( {{1}^{+}} \right)\ne f’\left( {{1}^{-}} \right)$ nên hàm số $f\left( x \right)$ không tồn tại đạo hàm tại ${{x}_{0}}=1$.

Ví dụ 10. Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai.

Khái niệm đạo hàm

A. Hàm số có đạo hàm tại $x=0$.

B. Hàm số có đạo hàm tại $x=1$.

C. Hàm số có đạo hàm tại $x=2$ .

D. Hàm số có đạo hàm tại $x=3$.

Lời giải

Đáp án B

Tại $x=1$ đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.

STUDY TIP

  • Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
  • Hàm số không liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ thì không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$.

Ví dụ 11. Tìm $a$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} & khi\,x \ne 1\\ a & khi\,x = 1 \end{array} \right.$ có đạo hàm tại điểm $x=1$.

A. $a=-2$.

B. $a=2$.

C. $a=1$ .

D. $a=\frac{1}{2}$.

Lời giải

Đáp án B

Để hàm số có đạo hàm tại $x=1$ thì trước hết $f\left( x \right)$ phải liên tục tại $x=1$.

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=2=f\left( 1 \right)=a$. Khi đó ${f}’\left( 1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}-2}{x-1}=1$.

Vậy $a=2$.

STUDY TIP

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$.

Ví dụ 12. Tìm $a,\,b$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} & khi\,x \ge 0\\ ax + b & khi\,x < 0 \end{array} \right.$ có đạo hàm tại điểm $x=0$.

A. $\left\{ \begin{array}{l} a = – 11\\ b = 11 \end{array} \right.$.

B. $\left\{ \begin{array}{l} a = – 10\\ b = 10 \end{array} \right.$.

C. $\left\{ \begin{array}{l} a = – 12\\ b = 12 \end{array} \right.$ .

D. $\left\{ \begin{array}{l} a = – 1\\ b = 1 \end{array} \right.$.

Lời giải

Đáp án D

Trước tiên hàm số phải liên tục tại $x=0$

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1=f(0),\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=b\Rightarrow b=1$

Xét $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{x+1}=-1$

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,a=a$

Hàm số có đạo hàm tại $x=0\Leftrightarrow a=-1$

STUDY TIP

Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$

Ví dụ 13. Tìm $a,b$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx + 1\,\,khi\,x \ge 0\\ a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x + b{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \,khi\,x < 0 \end{array} \right.$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}=0$

A.$a=1;b=1$.

B.$a=-1;b=1$.

C.$a=-1;b=-1$.

D.$a=0;b=1$.

Lời giải

Đáp án A

Ta có:$f(0)=1$

$\begin{align} & \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(a{{x}^{2}}+bx+1)=1 \\ & \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(a\operatorname{s}\text{in }x+b\cos x)=b \\ \end{align}$

Để hàm số liên tục thì $b=1$

$\begin{array}{l} f'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} + x + 1 – 1}}{x} = 1\\ f'({0^ – }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + b\cos x – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} – 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {a\cos \frac{x}{2}} \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \sin \frac{x}{2} = a \end{array}$

Để tồn tại ${f}'(0)\Rightarrow {f}'({{0}^{+}})={f}'({{0}^{-}})\Leftrightarrow a=1$

STUDY TIP

Giới hạn lượng giác $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{s}\text{inx}}{x}=1\Rightarrow \underset{f(x)\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{s}\text{inf(x)}}{f(x)}=1$

Ví dụ 14. Cho hàm số $f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-1000)$. Tính ${f}'(0)$.

A.$10000!$.

B.$1000!$.

C.$1100!$.

D.$1110!$.

Lời giải

Đáp án B

$\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(x – 1)(x – 2)…(x – 1000) – 0}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x – 1)(x – 2)…(x – 1000)\\ = ( – 1)( – 2)…( – 1000) = 1000! \end{array}$

STUDY TIP

Hoán vị $n$ phần tử:${{P}_{n}}=n!=1.2…(n-1)n$

4. Bài tập đạo hàm có lời giải

4.1 Bài tập

Câu 1. Số gia của hàm số $f(x)={{x}^{3}}$ ứng với${{x}_{0}}=2$ và$\Delta x=1$ bằng bao nhiêu?

A.$-19$.

B.$7$.

C.$19$.

D.$-7$.

Câu 2. Tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ của hàm số$f(x)=2x(x-1)$ theo$x$ và $\Delta x$ là:

A.$4x+2\Delta x+2$.

B.$4x+2{{(\Delta x)}^{2}}-2$.

C.$4x+2\Delta x-2$.

D.$4x.\Delta x+2{{(\Delta x)}^{2}}+2\Delta x$.

Câu 3. Số gia của hàm số $f(x)={{x}^{2}}-4x+1$ ứng với $x$ và $\Delta x$ là:

A.$\Delta x(\Delta x+2x-4)$.

B.$2x+\Delta x$.

C.$\Delta x(2x-4\Delta x)$.

D.$2x-4\Delta x$ .

Câu 4. Cho hàm số$f(x)$ xác định: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{x}\\ 0 \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} khi\,x \ne 0\\ khi\,x = 0 \end{array}$.Giá trị${f}'(0)$ bằng:

A.$\frac{1}{2}$.

B.$-\frac{1}{2}$.

C.$-2$.

D. Không tồn tại.

Câu 5. Cho hàm số$f(x)$xác định trên$\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ bởi $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} – 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} – 3x + 2}}\,khi\,x \ne 1\\ 0\,khi\,x = 1 \end{array} \right.$ .Giá trị${f}'(1)$ bằng:

A.$\frac{3}{2}$.

B.$1$.

C.$0$.

D. Không tồn tại.

Câu 6. Xét hai mệnh đề:

$(I)$ $f(x)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$thì$f(x)$liên tục tại${{x}_{0}}$.

$(II)$$f(x)$ có liên tục tại ${{x}_{0}}$thì$f(x)$đạo hàm tại${{x}_{0}}$.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ$(I)$.

B. Chỉ$(II)$.

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Câu 7. Cho đồ thị hàm số$y=f(x)$ như hình vẽ:

Đạo hàm

Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây?

A.$x=0$.

B.$x=1$.

C.$x=2$.

D.$x=3$.

Câu 8. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} – 1}}{{x – 1}}\,khi\,x \ne 1\\ 0\,khi\,x = 1 \end{array} \right.$.Giá trị ${f}'(1)$ bằng:

A.$\frac{1}{3}$ .

B.$\frac{1}{5}$.

C.$\frac{1}{2}$.

D.$\frac{1}{4}$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3\,\,khi\,x \ge 1\\ \frac{{{x^3} + 2{x^2} – 7x + 4}}{{x – 1}}\,khi\,x < 1 \end{array} \right.$.Giá trị ${f}'(1)$ bằng:

A.$0$.

B.$4$.

C.$5$.

D. Không tồn tại.

Câu 10. Cho hàm số$f(x)$ xác định trên ${{\mathbb{R}}^{+}}$ bởi $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,x \ne 0\\ 0\,\,khi\,x = 0 \end{array} \right.$ Xét hai mệnh đề sau:

$(I)$ ${f}'(0)=1$ .

$(II)$ Hàm số không có đạo hàm tại${{x}_{0}}=0$.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ$(I)$.

B. Chỉ$(II)$.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Câu 11. Xét hai câu sau:

$(1)$ Hàm số$y=\frac{\left| x \right|}{x+1}$ liên tục tại $x=0$.

$(2)$ Hàm số$y=\frac{\left| x \right|}{x+1}$ có đạo hàm tại $x=0$.

Trong 2 câu trên:

A.$(2)$đúng.

B.$(1)$đúng.

C.Cả$(1)$,$(2)$đều đúng.

D. Cả$(1)$,$(2)$đều sai.

Câu 12. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} – \sqrt {8{x^2} + 4} }}{x}\,\,khi\,x \ne 0\\ 0\,\,khi\,x = 0 \end{array} \right.$ .Giá trị của${f}'(0)$ bằng:

A.$\frac{1}{3}$.

B.$-\frac{5}{3}$.

C.$\frac{4}{3}$.

D.Không tồn tại.

Câu 13. Với hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\sin \frac{\pi }{x}\,\,khi\,\,\,\,x \ne 0\\ 0\,\,khi\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.$ .Để tìm đạo hàm$f'(x)=0$ một học sinh lập luận qua các bước như sau:

1.$\left| f(x) \right|=\left| x \right|.\left| \sin \frac{\pi }{x} \right|\le \left| x \right|$ .

2.Khi$x\to 0$ thì$\left| x \right|\to 0$ nên$\left| f(x) \right|\to 0\Rightarrow f(x)\to 0$.

3.Do $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0$ nên hàm số liên tục tại$x=0$.

4.Từ$f(x)$ liên tục tại$x=0\Rightarrow f(x)$ có đạo hàm tại$x=0$.

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

A.Bước 1.

B.Bước 2.

C.Bước 3.

D.Bước 4.

Câu 14. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\sin \frac{1}{{{x^2}}}\,khi\,x \ne 0\\ 0\,\,khi\,x = 0 \end{array} \right.$ .

$(1)$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=0$ .

$(2)$ Hàm số$f(x)$ không có đạo hàm tại điểm $x=0$ .

Trong các mệnh đề trên:

A.Chỉ$(1)$ đúng.

B. Chỉ$(2)$đúng.

C. Cả$(1),(2)$ đều đúng.

D. Cả$(1),(2)$ đều sai.

Câu 15. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx\\ 2x – 1 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {khi}\\ {khi} \end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 1}\\ {x < 1} \end{array}$.Tìm$a,b$ để hàm số có đạo hàm tại$x=1$

A.$a=-1,b=0$.

B.$a=-1,b=1$.

C.$a=1,b=0$.

D.$a=1,b=1$.

Câu 16. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{\sin }^2}x}}{x}\,khi\,x > 0\\ {x^2} + x\,\,khi\,x \le 0 \end{array} \right.\,$.Giá trị của${f}'(0)$ bằng:

A.$1$.

B.$2$.

C.$3$.

D.$5$.

Câu 17. Xét hàm số$y=f(x)$ có tập xác định là đoạn $\left[ a;b \right]$ đồng thời nếu $x\to {{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ thì$f(x)\to 1$ với 3 điều kiện:

I.$f(x)$ là hàm số liên tục trái và liên tục phải của ${{x}_{0}}$.

II.$f({{x}_{0}})=1$.

III.$f(x)$ có đạo hàm tại${{x}_{0}}$.

Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để $f(x)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ là:

A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Chỉ I và II.

D. Chỉ II và III.

Câu 18. Xét ba hàm số:

I.$f(x)=\left| x \right|.x$

II.$g(x)=\sqrt{x}$

III.$h(x)=\left| x+1 \right|x$

Hàm số không có đạo hàm tại $x=0$ là:

A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Chỉ I và II.

D. Chỉ I và III.

4.2 Hướng dẫn giải

Câu 1. Đáp án C

$\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)={{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{3}}-x_{0}^{3}$

Với ${{x}_{0}}=2,\Delta x=1\Rightarrow \Delta y=19$

Câu 2. Đáp án C

$\begin{array}{l} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \frac{{2\left( {x – {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) – 2\left( {x – {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = 2x + 2{x_0} – 2 \end{array}$

(Với ${{x}_{0}}=x-\Delta x$)

Câu 3. Đáp án A.

$\begin{array}{l} \Delta y = f\left( {\Delta x + x} \right) – f\left( x \right)\\ = {\left( {\Delta x + x} \right)^2} – 4\left( {\Delta x + x} \right) + 1 – \left( {{x^2} – 4x + 1} \right)\\ = \Delta x\left( {\Delta x + 2x – 4} \right) \end{array}$

Câu 4. Đáp án A.

Xét $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}=\frac{1}{2}$

Vậy ${f}’\left( 0 \right)=\frac{1}{2}$

Câu 5. Đáp án D

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – 4{x^2} + 3x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\left( {x – 3} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \infty \end{array}$

Câu 6. Đáp án A.

(II) Sai : ví dụ:$f\left( x \right)=\left| x \right|$thì $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 0 nhưng $f\left( x \right)$không có đạo hàm tại x = 0

(I) Đúng theo đáp án đã trình bày

Câu 7. Đáp án B

Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số không liên tục tại đó

$\Rightarrow $hàm số không có đạo hàm

Câu 8. Đáp án C

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} }}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x}{{\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} + 1}} = \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 9. Đáp án D

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} – 7x + 4}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {{x^2} + 3x – 4} \right) = 0 \end{array}$

Vậy không tồn tại ${f}’\left( 1 \right)$

Câu 10. Đáp án B

${f}’\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sqrt{x}}{x}-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x\sqrt{x}}=+\infty $

Vậy (I) sai, (II) đúng

Câu 11. Đáp án B

Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|}{x+1}=0=f\left( 0 \right)\Rightarrow $Hàm số liên tục tại $x=0$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{ – 1}}{{\left( {x + 1} \right)}} = – 1 \end{array}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại

Câu 12. Đáp án B

Ta có:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} – \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} – 2 + 2 – \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{4{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {4{x^2} + 8} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4}} – \frac{{8{x^2}}}{{2 + \sqrt {8{x^2} + 4} }}} \right)\\ = \frac{1}{3} – 2 = – \frac{5}{3} \end{array}$

Câu 13. Đáp án D

Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa $\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\sin \frac{\pi }{x}$

không có giới hạn khi $x\to 0$

Câu 14. Đáp án C

Ta có: $-\left| x \right|\le x.\sin \frac{1}{{{x}^{2}}}\le \left| x \right|$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\left| x \right| \right)\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x.\sin \frac{1}{{{x}^{2}}}\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right|=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x.\sin \frac{1}{{{x}^{2}}}=0=f\left( 0 \right)$

Vậy hàm số liên tục tại $x=0$

Xét $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\lim \left( \sin \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)$

Lấy dãy (xn):${{x}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi }{2}+2n\pi }}$

có:

$\begin{array}{l} \lim {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } }} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = 1 \end{array}$

Lấy dãy $\left( {{x}_{n}}^{\prime } \right):{{x}_{n}}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi }{6}+2\pi n}}=\frac{1}{2}$, tương tự ta cũng có:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n}^\prime = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}^\prime } \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2n\pi } \right) = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{{{x^2}}} \end{array}$

không tồn tại

Câu 15. Đáp án C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = a + b = f\left( 1 \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {2x – 1} \right) = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1$

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{2}}+bx-\left( a+b \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ a\left( x+1 \right)+b \right]=2a+b$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-1-\left( a+b \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1-1}{x-1}=2$

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} a + b = 1\\ 2a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 0 \end{array} \right.$

Câu 16. Đáp án A.

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sin x}{x}.\sin x \right)=0$

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=0$

Suy ra hàm số liên tục tại $x=0$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{x} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{{x^2} + x}}{x} = 1 \end{array}$

Vậy: ${f}’\left( 0 \right)={f}’\left( {{0}^{-}} \right)={f}’\left( {{0}^{+}} \right)=1$

Câu 17. Đáp án C

* f(x) liên tục tại x0 tức là $x\to {{x}_{0}}$ thì $f\left( x \right)\to f\left( {{x}_{0}} \right)$ nên (I) và (II) đúng.

* f(x) có đạo hàm tại x0 là điều điện đủ để f(x) liên tục tại x0. f(x) liên tục tại x0 nhưng có thể f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Câu 18. Đáp án B

Ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)-g\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty $. Vậy $g\left( x \right)$ không có đạo hàm tại $x=0$.

Bài viết tới sẽ chia sẻ về quy tắc tính đạo hàm, nó là kiến thức giúp bạn giải các bài tập hiệu quả hơn. Bạn nhớ quay lại theo dõi nha.