Các quy tắc tính đạo hàm toán 11

Trước khi học các quy tắc tính đạo hàm bạn cần biết khái niệm về đạo hàm, kiến thức này đã chia sẻ trong bài trước bạn có thể xem lại. Giống như nhiều kiến thức khác, đạo hàm có những quy tắc tính riêng, hãy cùng HsMath bắt đầu học ngay bây giờ.

1. Các quy tắc tính đạo hàm

1.1  Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số $u=u\left( x \right);\,\,v=v\left( x \right)$có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

Quy tắc đạo hàm

STUDY TIP

Mở rộng:

  • ${{\left( {{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm …\pm {{u}_{n}} \right)}^{\prime }}={{u}_{1}}^{\prime }\pm {{u}_{2}}^{\prime }\pm …\pm {{u}_{n}}^{\prime }$
  • ${{\left( u.v.\text{w} \right)}^{\prime }}={u}’.v.\text{w}+u.{v}’.\text{w}+u.v.\text{{w}’}$

1.2 Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)=f\left( u \right)$ với $u=u\left( x \right)$. Khi đó: ${y_x}^\prime = {y_u}^\prime .{u_x}^\prime $

2. Bài tập minh họa

Bài tập

Câu 1. Đạo hàm của hàm số $y=2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-4$ là:

A. $5{{x}^{2}}-11x-4$.

B. $6{{x}^{2}}-18x+12$.

C. $6{{x}^{2}}+18x-12$.

D. $6{{x}^{2}}-9x-12$.

Câu 2. Đạo hàm của hàm số $y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3(1-{{m}^{2}})x+{{m}^{3}}-{{m}^{2}}$(với m là tham số) bằng:

A. $-3{{x}^{2}}+6mx+1-{{m}^{2}}$.

B. $-{{x}^{2}}+3mx-1-3m$.

C. $3{{x}^{2}}-6mx-3+3{{m}^{2}}$.

D. $-3{{x}^{2}}+6mx+3-3{{m}^{2}}$.

Câu 3. Đạo hàm của hàm số $y={{({{x}^{2}}+1)}^{2}}(3+5{{x}^{2}})$ bằng biểu thức có dạng $a{{x}^{5}}+b{{x}^{3}}+cx$. Khi đó $a-b+c$ bằng:

Toán 11 quy tắc tính đạo hàm

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 5.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số $y=({{x}^{2}}+1)({{x}^{3}}+2)({{x}^{4}}+3)$ bằng biểu thức có dạng $a{{x}^{8}}+b{{x}^{6}}+c{{x}^{5}}+15{{x}^{4}}+d{{x}^{3}}+e{{x}^{2}}+gx$. Khi đó $a-b+c-d+e-g$ bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{a}{{{(x-1)}^{2}}}$. Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?

A. $a=-2$ .

B. $a=-1$ .

C. $a=-3$ .

D. $a=3$ .

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{-{{x}^{2}}+3x-3}{2(x-1)}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{a{{x}^{2}}+bx}{2{{(x-1)}^{2}}}$. Khi đó $a.b$ bằng:

A. $-2$ .

B. $-1$ .

C. $4$.

D. $6$.

Câu 7. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{2{{x}^{2}}+3x-1}{{{x}^{2}}-5x+2}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{{{(x-5x+2)}^{2}}}$. Khi đó $a+b+c$ bằng:

A. $-1$.

B. $2$.

C. $3$.

D. $-2$.

Câu 8. Đạo hàm của hàm số$y=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{3}}-2}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e}{{{({{x}^{3}}-2)}^{2}}}$. Khi đó $a+b+c+d+e$ bằng:

A. $-12$ .

B. $-10$ .

C. 8.

D. 5.

Câu 9. Đạo hàm của hàm số $y=(x-2)\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ biểu thức có dạng $\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$. Khi đó $a.b.c$ bằng:

A. $-2$.

B. $-4$.

C. $-6$.

D. $-8$.

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $y={{({{x}^{6}}-3{{x}^{4}})}^{2}}$ bằng biểu thức nào sau đây?

Bài tập quy tắc tính đạo hàm

A. $12{{x}^{11}}-52{{x}^{9}}+64{{x}^{7}}$.

B. $12{{x}^{11}}-73{{x}^{9}}+49{{x}^{7}}$.

C. $12{{x}^{11}}-62{{x}^{9}}+70{{x}^{7}}$.

D. $12{{x}^{11}}-60{{x}^{9}}+72{{x}^{7}}$.

Câu 11. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{5{{x}^{2}}-2x+1}$ biểu thức có dạng $\frac{ax+b}{\sqrt{5{{x}^{2}}-2x+1}}$. Khi đó $T=\frac{a}{b}$ bằng:

A. $T=-5$ .

B. $T=5$.

C. $T=-10$.

D. $T=10$.

Câu 12. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{1}{{{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}^{2}}}$.

B. $\frac{1}{2\sqrt{x+1}+2\sqrt{x-1}}$.

C. $\frac{1}{4\sqrt{x+1}}-\frac{1}{4\sqrt{x-1}}$.

D. $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Câu 13. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ biểu thức có dạng $\frac{ax+b}{\sqrt{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}}$. Khi đó $P=a.b$ bằng:

A. $P=1$ .

B. $P=-1$ .

C. $P=2$ .

D. $P=-2$ .

Câu 14. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+\sqrt{x}-\frac{1}{x}}{x-\sqrt{x}}$ bằng biểu thức nào sau đây?.

A. $\frac{4\sqrt{x}-2{{x}^{2}}-3}{2\sqrt{{{x}^{3}}}{{(x-\sqrt{x})}^{2}}}$.

B. $\frac{4\sqrt{x}+2{{x}^{2}}-3}{x\sqrt{x}{{(x-\sqrt{x})}^{2}}}$.

C. $\frac{\sqrt{x}-2{{x}^{2}}-2}{2x\sqrt{x}{{(x-\sqrt{x})}^{2}}}$.

D. $\frac{\sqrt{x}+2{{x}^{2}}+1}{2x\sqrt{x}{{(x-\sqrt{x})}^{2}}}$.

Câu 15. Cho hàm số $f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+2x+1}{2\sqrt{3{{x}^{2}}+2x+1}}$. Giá trị $f'(0)$ là:

A. $0$.

B. $1$.

C. $\frac{1}{2}$ .

D. Không tồn tại.

Câu 16. Cho hàm số $f(x)=\frac{1-x}{2x+1}$ thì $f'(-\frac{1}{2})$ có giá trị là:

A. $0$.

B. $3$.

C. $-3$ .

D. Không tồn tại.

Câu 17: Cho $f\left( x \right)=\frac{x}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\cdots \left( x-2017 \right)}$ thì ${f}’\left( 0 \right)$

A. $\frac{1}{2017!}$.

B. $2017!$.

C. $-\frac{1}{2017!}$.

D. $-2017!$.

Câu 18: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x\ge 1 \\ & 2x-1\,\,\,khi\,x<1 \\ \end{align} \right.$. Hãy chọn đáp án sai:

A. ${f}’\left( 1 \right)=1$.

B. Hàm số có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=1$.

C. Hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=1$.

D. ${f}’\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 2x\,\,khi\,x\ge 1 \\ & x\,\,\,\,khi\,x<1 \\ \end{align} \right.$.

Câu 19: Cho hàm số $f\left( x \right)=x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}$. Tập các giá trị của $x$ để ${f}’\left( x \right)>0$ là:

A. $\left( -\infty ;0 \right)$.

B. $\left[ -2;\sqrt{2} \right)$.

C. $\left( -2;2 \right]$.

D. $\left( -2;\sqrt{2} \right)$

Câu 20: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{3}}+1}$. Tập nghiệm của bất phương trình ${f}’\left( x \right)\le 0$ là:

A. $\left( -\infty ;\sqrt{\frac{1}{2}} \right)$.

B. $\left[ \frac{1}{\sqrt{2}};+\infty \right)$.

C. $\left( -\infty ;\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right]$.

D. $\left[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}};+\infty \right)$.

Câu 21: Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$ là biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[ 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right]$.

B. $\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[ 1+\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}.\left( 1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right) \right]$.

C. $\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[ 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right]$.

D. $\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[ 1-\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right]$.

Câu 22: Cho $f\left( x \right)={{x}^{5}}+{{x}^{3}}-2x-3$. Tính ${f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( -1 \right)+4{f}’\left( 0 \right)$.

A. $4$.

B. $5$.

C. $6$.

D. $7$.

Câu 23: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+{{x}^{2}}$. Tính ${f}’\left( 1 \right)$.

A. $\frac{1}{2}$.

B. $1$.

C. $2$.

D. $3$.

Câu 24: Cho hàm số $y={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{3}}$. Hàm số có đạo hàm ${f}’\left( x \right)$ bằng:

A. $\frac{3}{2}\left( \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{x}} \right)$.

B. $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}$.

C. $\frac{3}{2}\left( -\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{x}} \right)$.

D. $\frac{3}{2}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{x}} \right)$.

Câu 25: Đạo hàm của hàm số $y={{\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right)}^{2}}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $2\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}.\frac{1}{{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}$.

B. $2\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}.\frac{-1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}$.

C. $\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right).\frac{-1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}$.

D. $2\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right).\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}$.

Câu 26: Cho hàm số $y={{\left( \frac{2x+1}{x-1} \right)}^{3}}$. Đạo hàm ${y}’$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{3{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}$.

B. $\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}$.

C. $\frac{-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}$.

D. $\frac{-9{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}$.

Câu 27: Cho hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m+2 \right){{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+1$. Tập giá trị của $m$ để ${y}’\ge 0$ $\forall x\in \mathbb{R}$ là

A. $\left[ 3;+\infty \right)$.

B. $\left[ 1;+\infty \right)$.

C. $\varnothing $.

D. $\left[ 4\sqrt{2};+\infty \right)$.

Câu 28: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\,\,\,khi\,x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+ax+b\,\,khi\,x<0 \\ \end{align} \right.$. Tìm $a$, $b$ để hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.

A. $a=0$, $b=11$.

B. $a=10$, $b=11$.

C. $a=20$, $b=21$.

D. $a=0$, $b=1$.

Câu 29: Cho hàm số $f\left( x \right)=-\frac{m{{x}^{2}}}{3}+\frac{m{{x}^{2}}}{2}-\left( 3-m \right)x+2$. Tìm $m$ để ${f}’\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

A. $m\in \left[ \frac{3}{2};2 \right]$.

B. $m\in \left( -\infty ;3 \right)$.

C. $m\in \left( \frac{12}{5};3 \right)$.

D. $m\in \left[ \frac{3}{2};+\infty \right)$.

Câu 30: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|}{\left| 1+x \right|+\left| 1-x \right|}$. Đạo hàm ${f}’\left( x \right)$ là biểu thức nào sau đây?

A. $\left\{ \begin{align} & -\frac{1}{{{x}^{2}}}\,\,\,khi\,x<-1,x>1 \\ & 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,-1<x<1 \\ \end{align} \right.$.

B. $\left\{ \begin{align} & \frac{2}{{{x}^{2}}}\,\,\,khi\,x<-1,x>1 \\ & 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,-1\le x\le 1 \\ \end{align} \right.$.

C. $\left\{ \begin{align} & \frac{1}{{{x}^{2}}}\,\,\,khi\,x<-1,x>1 \\ & -1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,-1\le x\le 1 \\ \end{align} \right.$.

D. $\left\{ \begin{align} & -\frac{3}{{{x}^{2}}}\,\,\,khi\,x<-1,x>1 \\ & 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,-1<x<1 \\ \end{align} \right.$.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1: Đáp án B

${y}’=6{{x}^{2}}-18x+12$.

Câu 2: Đáp án D

${y}’=-3{{x}^{2}}+6mx+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)$.

Câu 3: Đáp án A.

${y}’=2\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2x.\left( 3+5{{x}^{2}} \right)+{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}.10x$

$=\left( 4{{x}^{3}}+4x \right)\left( 3+5{{x}^{2}} \right)+10{{x}^{5}}+20{{x}^{3}}+10x$

$=30{{x}^{5}}+52{{x}^{3}}+22x.$

$\Rightarrow a-b+c=0$.

Câu 4: Đáp án C

${y}’=2x\left( {{x}^{3}}+2 \right)\left( {{x}^{4}}+3 \right)+3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}+3 \right)+4{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{3}}+2 \right)$

$=2x\left( {{x}^{7}}+2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+6 \right)+3{{x}^{2}}\left( {{x}^{6}}+{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+3 \right)+4{{x}^{3}}\left( {{x}^{5}}+{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2 \right)$

$=9{{x}^{8}}+7{{x}^{6}}+12{{x}^{5}}+15{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+12x.$

$\Rightarrow a-b+c-d+e-g=3$.

Câu 5: Đáp án C

Câu 6: Đáp án A.

${y}’=\frac{\left( -2x+3 \right)\left( x-1 \right)-\left( -{{x}^{2}}+3x-3 \right)}{2{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+2x}{2{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.

Câu 7: Đáp án D

$\begin{align} & {y}’=\frac{\left( 6{{x}^{2}}+3 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+2 \right)-\left( 2{{x}^{3}}+3x-1 \right)\left( 2x-5 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-5x+2 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{-13{{x}^{2}}+10x+1}{{{\left( {{x}^{2}}-5x+2 \right)}^{2}}} \\ \end{align}$.

$\Rightarrow a+b+c=-2$.

Câu 8: Đáp án A.

$\begin{align} & {y}’=\frac{\left( -2x+2 \right)\left( {{x}^{3}}-2 \right)-3{{x}^{2}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+4x-4}{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}} \\ \end{align}$

$\Rightarrow a+b+c+d+e=-12$

Câu 9: Đáp án B

${y}’=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.

Câu 10: Đáp án D

${y}’=2\left( {{x}^{6}}-3{{x}^{4}} \right)\left( 6{{x}^{5}}-12{{x}^{3}} \right)=12{{x}^{11}}-60{{x}^{9}}+72{{x}^{7}}$.

Câu 11: Đáp án A.

${y}’=\frac{10x-2}{2\sqrt{5{{x}^{2}}-2x+1}}=\frac{5x-1}{\sqrt{5{{x}^{2}}-2x+1}}\Rightarrow T=\frac{a}{b}=-5$.

Câu 12: Đáp án C

Nhân liên hợp ta có: $y=\frac{1}{2}\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \right)$$\Rightarrow $${y}’=\frac{1}{4\sqrt{x+1}}-\frac{1}{4\sqrt{x-1}}$.

Câu 13: Đáp án A.

${y}’=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( x-1 \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}=\frac{x+1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}$.

$\Rightarrow P=a.b=1$.

Câu 14: Đáp án A.

${y}’=\frac{\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( x-\sqrt{x} \right)-\left( x+\sqrt{x}-\frac{1}{x} \right)\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)}{{{\left( x-\sqrt{x} \right)}^{2}}}$

$=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{{\left( x-\sqrt{x} \right)}^{2}}}=\frac{4\sqrt{x}-2{{x}^{2}}-3}{2x\sqrt{x}{{\left( x-\sqrt{x} \right)}^{2}}}$.

Câu 15: Đáp án C

Cách 1: Tính ${f}’\left( x \right)=\frac{9{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+8x+4}{4\left( 3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow {f}’\left( 0 \right)=1$.

Cách 2: Dùng MTCT ta được kết quả.

Câu 16: Đáp án D

Câu 17: Đáp án C

Ta có: ${f}’\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ldots \left( x-2017 \right)-x{{\left[ \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ldots \left( x-2017 \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ldots \left( x-2017 \right) \right]}^{2}}}$

$\Rightarrow {f}’\left( 0 \right)=\frac{\left( -1 \right)\left( -2 \right)\ldots \left( -2017 \right)}{{{\left[ \left( -1 \right)\left( -2 \right)\ldots \left( -2017 \right) \right]}^{2}}}=-\frac{1}{2017!}$.

Câu 18: Đáp án A.

Ta có: $f\left( 1 \right)=1$, $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số liên tục tại $x=1$.

Khi $x>1$: ${f}’\left( x \right)=2x$.

$x<1$: ${f}’\left( x \right)=2$.

Với $x=1$, ta xét: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=2$; $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( x-1 \right)}{x-1}=2$.

Vậy ${f}’\left( 1 \right)=2$.

Câu 19: Đáp án B

Điều kiện: $x\in \left[ -2;2 \right]$.

${f}’\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}$; ${f}’\left( x \right)>0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{x}^{2}}}>x\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -2\le x<0 \\ & 0\le x<\sqrt{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le x<\sqrt{2}$.

Câu 20: Đáp án D

${f}’\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{3}}+1}{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}’\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -2{{x}^{3}}+1\le 0 \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

Câu 21: Đáp án A.

Ta có: $y=\sqrt{u}$ với $u=x+\sqrt{x+\sqrt{x}}$.

$\begin{align} & \Rightarrow {y}’=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[ 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{\prime }} \right] \\ & =\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[ 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right] \\ \end{align}$.

Câu 22: Đáp án A.

Ta có: ${f}’\left( x \right)=5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( -1 \right)+4{f}’\left( 0 \right)=4$.

Câu 23: Đáp án A.

Ta có: ${f}’\left( x \right)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}+2x\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=\frac{1}{2}$.

Câu 24: Đáp án D

Ta có: ${f}’\left( x \right)=3{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}} \right)=\frac{3}{2}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{x}} \right)$.

Câu 25: Đáp án B

Ta có: $y={{u}^{2}}$ với $u=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$.

$\begin{align} & {y}’=2.\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right).{{\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right)}^{\prime }} \\ & =2.\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right).\frac{\frac{-1}{2\sqrt{x}}\left( 1+\sqrt{x} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( 1-\sqrt{x} \right)}{{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}} \\ & =2.\left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right).\frac{-1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}} \\ \end{align}$.

Câu 26: Đáp án D

Ta có: $y={{u}^{3}}$, $u=\frac{2x+1}{x-1}$, ${u}’=\frac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$$\Rightarrow {y}’=\frac{-9{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}$.

Câu 27: Đáp án C

${y}’=3\left[ \left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x-2\left( m+2 \right) \right]$.

${y}’\ge 0\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x-2\left( m+2 \right)\ge 0$ (1)

Với $m=1$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -6x-6\ge 0\Leftrightarrow x\le -1\Rightarrow m=1$ (loại).

Với $m\ne 1\Rightarrow \left( 1 \right)$ đúng$\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ \left( {m + 2} \right)3m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow $ $m$ vô nghiệm.

Câu 28: Đáp án D

Với $x\ne 0$ hàm số luôn có đạo hàm.

Để hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải có đạo hàm tại $x=0$.

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$, $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\Rightarrow b=1$.

Để hàm số liên tục tại $x=0\Rightarrow b=1$.

Xét $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-1}{x}=0$; $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b-1}{x}=a$.

$\Rightarrow a=0$. Vậy $a=0$, $b=1$.

Câu 29: Đáp án C

${f}’\left( x \right)=-m{{x}^{2}}+mx-\left( 3-m \right)$; ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow -m{{x}^{2}}+mx-\left( 3-m \right)=0\left( 1 \right)$.

Theo bài ra ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 5{m^2} – 12m > 0\\ \frac{{3 – m}}{m} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{12}}{5} < m < 3\]

Câu 30: Đáp án A.

Lập bảng dấu ta được: $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}khi\,x<-1,x>1 \\ & xkhi\,-1\le x\le 1 \\ \end{align} \right.$.

– Với $x<-1$ hoặc $x>1$$\Rightarrow {f}’\left( x \right)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$.

– Với $-1<x<1\Rightarrow {f}’\left( x \right)=1$.

Ta có $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1$ nên hàm số liên tục tại $x=-1$.

Xét $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -1 \right)}{x+1}=-1$, $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -1 \right)}{x+1}=1$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=-1$.

Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.

Vậy $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}khi\,x<-1,x>1 \\ & xkhi\,-1<x<1 \\ \end{align} \right.$.